Diskreetne Fourier' teisendus

Fourier' teisenduse ja diskreetse Fourier' teisenduse vaheline suhe. Vasak veerg: Pidev funktsioon (üles) ja tema Fourier' teisendus (all). Kesk-vasak veerg: Originaal funktsiooni perioodiline summeerimine (üles). Fourier' teisendus (all) on null v.a diskreetse punktide kohtadel. Pöördtransformatsioon on sinusoidide summa, nimetatud Fourier' rida. Kesk-parem veerg: Original funktsioon on diskreeditud (üles). Selle Fourier' teisendus (all) on originaal teisenduse perioodiline summa. Parem veerg: DFT (all) arvutab diskreedsed proove pidevast diskreetse aja Fourier' teisendusest. Pöörd DFT (üles) on originaal proovide perioodiline summeerimine. Kiire DFT arvutab ühe tsükli DFT-d ja pöörd DFT-d ühes pöörd DFT tsüklis.[1]
Fourier' teisenduse kujutis (üles) ja selle perioodiline summa (DTFT) all.[1]

Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) on pideva Fourier' teisenduse vaste ajas ja nivoos diskreeditud (analoogsignaalist või funktsioonist teatud ajahetkedel võendatud (sampled) ja nivoos diskreeditud (digiteeritud)) funktsioonide ja signaalide jaoks. Teatud tingimuste täidetuse korral on DFT tulemused vastavuses pideva Fourier' teisenduse tulemustega. Kuid paljudel juhtudel on tulemused siiski oluliselt erinevad, mistõttu DFT tulemuste ülekandmisel analoogsignaalidele tuleb olla ettevaatlik.[2]

DFT on kõige olulisem diskreetne teisendus, mida kasutatakse Fourier' analüüsi teostamiseks paljudes praktilistes rakendustes.[3] Signaalitöötluses on iga signaal funktsioon, millest võetakse proov üle piiratud ajavahemikku.[4] Näideteks võivad olla helilaine, raadiosignaal või muutuvad temperatuurinäidud. Pilditöötluses võivad proovid olla pikslite väärtused igas reas või veerus rasterkujutisel. DFT-d kasutatakse ka selleks, et lahendada efektiivselt diferentsiaalvõrrandeid ja teha teisi toiminguid, nagu konvolitsioon ja suurte arvude korrutamine.[5]

Kuna DFT tegeleb piiratud andmemahtudega, saab seda rakendada arvutades numbriliste algoritmide abil või kasutades sihtotstarbelist riistvara. Need rakendused tavaliselt kasutavad kiiret Fourier' teisendust (Fast Fourier Transform = FFT), mis põhineb teisenduse teostamiseks vajalike arvutuste mahu vähendamises teatud (korduvate) tulemuste (korduva) ärakasutamise teel või mõne spetsiifilise vaheteisenduse kasutamise teel.[6]

MõisteRedigeeri

N kompleksarvude jada   teisendatakse N-perioodiliseks kompleksarvude jadaks:

  (täisarvud)   [märkus 1]

Perioodilisuse tõttu on tegelikult arvutatud domeen k [0, N – 1]. See on alati nii, kui DFT-d on rakendatud kiire Fourier' teisenduse kaudu. Muud domeenid on [-A / 2, N / 2-1] (N paaris) ja [- (N – 1) / 2, (N – 1) / 2] (N paaritu), kui vasak ja parem pool DFT väljundis on vahetatud.[1]

Diskreetne Fourier' teisendus on tavaliselt tähistatud tähega  , kus   või   või  .[märkus 2]

Definitsioonivõrrandit võib tõlgendada või tuletada mitmel erinevatel viisidel, näiteks[5]:

  • See kirjeldab täielikult diskreetse aja Fourier' N-perioodilist järjestust, mis sisaldab ainult diskreetse sageduse komponente.
  • Samuti tagab see ühtlaste vahekaugusega proove sisalduva pideva DFT antud piiratud pikkusega.
  • See on sisendandmete ristkorrelatsioon,   ja kompleksne sinusoid sagedusel k/N. Seega see toimib nagu sobitatud filter sellele sagedusele.
  • See on diskreetne analoog Fourier' rea koefitsientide leidmise valemile:

 

mis on ka N-perioodiline.   domeenis on see definitsiooni valemi pöördteisendus. Selle tõlgenduse järgi on iga   kompleksne number, mis kodeerib funktsiooni   kompleksesse siinuselisse komponenti    nii amplituudi kui ka faasi.[5] Siinuse sagedus on k/N. Amplituud ja faas vastavad võrranditele:
 
 
kus atan2 on arkustangensi funktsioon kahe argumendi jaoks.[7]

Euleri valemi abil saab DFT valemi teisendada trigonomeetriliseks vormiks, mida kasutatakse inseneride arvutlustes ja infotehnoloogias:

Fourier teisendus:  

Pöördteisendus:  

N = proovide arv
n = praegu töödeldava proovi number (0, ..., N − 1)
xn = signaali väärtus ajahetkel n
k = praegune sagedus (0 Hz kuni N-1 Hz)
Xk = sageduse k kogus signaalis (amplituud ja faas, kompleksarv)[8]

OmadusedRedigeeri

TäielikkusRedigeeri

Diskreetne Fourier' teisendus on pööratav lineaarne teisendus

 

kus   on kompleksarvude hulk. See tähendab, et iga N > 0, N-mõõtmeline kompleksvektor omab DFT-d ja PDFT-d (pöördteisendust), mis on omakorda N-mõõtmelised kompleksvektorid.[9]

OrtogonaalsusRedigeeri

Vektorid   moodustavad ortogonaalse baasi üle N-mõõtmeliste kompleksvektorite hulga:

 

kus  on Kronecker delta. (Viimane samm on triviaalsete   summa, kus 1+1+⋅⋅⋅=N, ja selline geomeetriline jada, millest saab summeerides saada kokku nulli.) Seda ortogonaalsuse tingimust saab kasutada selleks, et tuletada pöördteisenduse valemit DFT definitsioonist.[10]

Plancherel teoreem ja Parsevali teoreemRedigeeri

Kui Xk ja Yk on vastavalt xn ja yn teisendused, siis ütleb Parsevali teoreem, et:

 

kus tärn tähendab kompleksset konjugatsiooni. Parsevali teoreemi selline erijuht, kus xn = yn, on Planchereli teoreem, mis väidab:

 [11]

PerioodilisusRedigeeri

Perioodilisust võib näha otse definitsioonist:

 

Samas on näha, et pöördteisenduse võrrand viib perioodilisele laiendamisele.[11]

NiheRedigeeri

Korrutades   lineaarse faasiga   mingi täisarvu m järgi vastab nihkele väljundis  :  , mis asendatakse  , kus indeks on tõlgendatud kui absoluutväärtus N (perioodiliselt).[9] Samamoodi nihe sisendis   vastab väljundi   korrutamisele lineaarse faasiga. Matemaatiliselt, kui   tähistab vektorit x, siis

kui  
siis  
ja  [9]

Ringkonvolutsiooni teoreem ja ristkorrelatsiooni teoreemRedigeeri

Konvolutsiooni teoreem diskreetse Fourier' teisenduse jaoks näitab, et kahe lõpmatu jada konvolutsiooni võib saada kahe üksiku teisenduse tulemuste pöördteisendusest. Kui järjestused on piiratud pikkustega N, siis tekib oluline lihtsustamine.[12] Kui vaadelda DTF-d ja pöörd-DTF-d, võib seda kirjutada järgmiselt:

 

mis on konvolutsioon   ja   jadade vahel pikendatud perioodilise liitmisega:

 

Ristkorrelatsioon    ja     vahel on selline:

 [12]

Konvolutsiooni teoreemi duaalsusRedigeeri

Võib ka tõestada, et:

  mis on ringikujuline konvolutsioon   ja   vahel.[13]

Trigonomeetriline interpolatsiooni polünoomRedigeeri

  paaris N-i jaoks,
  paaritu N-i jaoks,

kus koefitsiendid Xk on eespool oleva xn DFT ja rahuldavad interpoleerimist     jaoks.[14]

Paaris N-i puhul tuleb tähele panna, et Nyquist komponenti   käsitletakse eraldi.[14]

Ühtne DFTRedigeeri

Teise võimalusena saab DFT-d väljendada DFT maatriksi abil ehk Vandermonde maatriksina, mille võttis kasutusele Sylvester 1867. aastal.

 

kus

 

on primitiivne N-is ühe juur.[15]

Pöördteisendus on selle maatriksi pöördmaatriks:

 

Ühtse normaliseerimise konstantidega   saab DFT ühtseks teisenduseks, mis on defineeritud ühtse maatriksi abil:

 
 
 

kus det() on maatriksi determinant. Determinant on omaväärtuste tulemus, mis on kas   või  . Ortogonaalsust väljendab nüüd ortonormaalsuse tingimus.[15]

 

Kui X on ühtne vektori x DFT, siis

 

ja Planchereli teoreem on väljendatud niimoodi:

 

Erijuhul   on see Parsevali teoreem

 [16]

Pöördvõrdelise DFT avaldamine DFT kauduRedigeeri

Kasulik DFT omadus on see, et pöördteisendust saab kergesti väljendada tavalise DFT kaudu, kasutades allolevaid nippe:

Esiteks saame arvutada pöördvõrdeline DFT, pöörates vastupidi kõik peale ühe sisendi.[10]

 

Teiseks võib ka ümber pöörata sisendid ja väljundid:

 

Viimaseks võime vahetada omavahel reaal- ja imaginaarsignaali osad:

 
Kus swap( ) on  , milles on reaal- ja imaginaar-osad omavahel niimoodi vahetatud:   swap( ) on  . Samas, swap( ) on võrdne  .[17]

Omaväärtused ja omavektoridRedigeeri

DFT maatriksi omaväärtused on lihtsad ja hästi tuntud, kusjuures omavektorid on keerulised ja neid pole veel täiesti uuritud.[18]

Kui DFT ühtne vorm   pikkusega N on selline:

 

See maatriks vastab maatriksite polünomiaalsele võrrandile:

 

See tähendab, et omaväärtused   võrrandile on:

 

Samas on   omaväärtused neljandad ühe juured:   on +1, −1, +i, või −i.

Kuna on olemas ainult neli omaväärtust, siis need omavad mitmesust, mis annab omavektorite numbri igale omaväärtusele.[18]

Paljususe probleemi lahendasid McClellan ja Parks, samas ekvivalentse probleemi lahendas varem Gauss. Mitmesus sõltub absoluutväärtusest N ja on näidatud järgmises tabelis[19]:

suurus N λ = +1 λ = −1 λ = -i λ = +i
4m m + 1 m m m − 1
4m + 1 m + 1 m m m
4m + 2 m + 1 m + 1 m m
4m + 3 m + 1 m + 1 m + 1 m

Määramatuse printsiipRedigeeri

Kui juhuslik suurus Xk on piiratud:

 

siis

 

võib esindada diskreetse tõenäosuse n-i massi-funktsiooni koos tõenäosuse massi-funktsiooni funktsiooniga, mis on saadud transformeeritud muutujast[20],

 

Pidevate funktsioonide   ja   jaoks väidab Heisenbergi määramatuse printsiip, et

 

kus   ja   on   ja   erinevused, koos võrdsusega, mis on saavutatud sobivalt normaliseeritud Gaussi jaotusest.

Hirschmanni entroopialine ebakindlus omab kasulikku analoogi ka DFT puhul. Hirschmani määramatuse printsiip on väljendatud Shannoni entroopia poolest kahe tõenäosusfunktsiooni abil.[20]

Diskreetsel juhul on Shannoni entroopiad

 

ja

 

ja entroopialine määramatuse printsiip muutub

 [21]

Reaalse sisendiga DFTRedigeeri

Kui   on reaalarvud, nagu nad on tavalises olukorras, siis DFT allub sümmeetriale:

   kus   tähendab kompleksset konjugatsiooni.[22]

X0 ja XN/2 on reaalsed väärtused ja ülejäänud DFT on täielikult määratud ainult N/2-1 kompleksarvudega.[22]

Üldistatud DFT (nihkunud ja mittelineaarne faas)Redigeeri

On võimalik nihutada teisenduse proovivõttu aja ja/või sageduspiirkonna mingi a ja b väärtuse võrra. Seda nimetatakse tavaliselt üldistatud DFT-ks (GDFT inglise keeles) või nihutatud DFT-ks. Üldistatud DFT omab analoogsed omadusi nagu tavaline DFT[23]:

 

Kõige tihedamini kasutatakse nihet   proovi võrra. Tavaline DFT vastab perioodilisele signaalile nii aja kui ka sageduse domeenis,     esitab vastu perioodilist signaali ( ) ja vastupidi, kui    . On olemas ka erijuht  , mida on nimetatud paaritu aja ja sagedusega DFT-ks (O2 DFT inglise keeles). Selliseid teisendusi kasutatakse sümmeetriliste signaalide puhul, et esitada erinevaid piirsümmeetriad. Reaalsignaalide puhul vastavad need erinevatele siinus- ja koosinus-signaalidele.[24]

Teine huvitav juhtum on, kui  , mida nimetatakse tsentreeritud DFT-ks (CDFT inglise keeles). See DFT omab kasulikku omadust: kui N on nelja korrutis, siis kõik neli tema ühisväärtust omavad võrdset mitmesust.[23]

Diskreetset Fourier' teisendust võib vaadelda z-teisenduse erijuhuna, mida hinnatakse ühikringil komplekstasandil; z-teisendused vastavad kompleksnihetele a ja b, nagu on näidatud eespool.[24]

Mitmemõõtmeline DFTRedigeeri

Tavaline DFT tegeleb ühemõõtmelisega andmete massiiviga   kuna see on funktsioon täpselt ühe diskreetse muutujaga n. Mitmemõõtmeline DFT tegeleb mitmemõõtmelise massiiviga   ja avaldub d diskreetsete muutujatega funktsiooniks   iga     sees on defineeritud:

 

kus   ja d väljundi indeksid on  .[25] Natuke kompaktsemalt on see väljendatud kui vektor, kus   ja   on d-mõõtmelised vektorid indeksitega nullist  , kus  :

 

kus   on   ja summa tähistab pesastatud summeerimist üleval olevas valemis.[25]

Pöördvõrdeline mitmemõõtmeline DFT avaldub samamoodi nagu ühe mõõtme korral:

 

DFT väljendab sisendit   sinusoidide superpositsiooniga, mitmemõõtmeline DFT väljendab sisendit tasandi lainete superpositsiooniga, või mitmemõõtmeliste sinusoididega. Ostsillatsiooni suund on   ja amplituudid on  . See lagunemine omab suurt tähtsust paljudel aladel, alustades digitaalsest pilditöötlusest (kahemõõtmeline) kuni diferentsiaalvõrrandite lahendamiseni. Tulemus on jagatud tasandite lainetele.[25]

Mitmemõõtmeline DFT võib olla arvutatud kui iga mõõtme ühemõõtmelise DFT-de kompositsioon. Kahemõõtmelise DFT puhul   on  sõltumatu ridade DFT-d (näiteks mööda  ) arvutatud esimesena uueks massiiviks  . Järgmisena   sõltumatu veergude DFT-d (mööda  ) arvutatakse, et saada lõpptulemust  . Võib teha ka vastupidi ja esimesena arvutada veerud ja pärast read. Järjekord pole oluline, sest lõpus arvutatakse pesastatud summa[25].

Ühemõõtmelise DFT arvutamise algoritm on piisav selleks, et arvutada ka mitmemõõtmelised DFT-d. Selle algoritmi nimetuseks on rea-veeru algoritm. On olemas ka mõned teised algoritmid mitmemõõtmeliste DFT-de arvutamiseks.[25]

Reaalse sisendiga mitmemõõtmeline DFTRedigeeri

Kui sisend koosneb reaalsetest arvudest  , DFT väljund omab konjugatiivset sümmeetriat nagu ühemõõtmelisel juhul:

 

kus tärn tähendab kompleksset konjugatsiooni ja  -is indeks on absoluutväärtus   (iga   jaoks).[25]

Kiire DFTRedigeeri

Kiire Fourier' teisendus (Fast Fourier Transform = FFT) põhineb teisendamiseks vajalike arvutuste mahu vähendamises teatud (korduvate) tulemuste (korduva) ärakasutamise teel või mõne spetsiifilise vaheteisenduse kasutamise teel. Seetõttu on FFT reeglina kasutatav vaid diskreeditud funktsioonide ja signaalide puhul. Siiski on ka analoogtehnikas mõned signaalitöötluse võtted vaadeldavad kui FFT teatud vormid.[26]

FFT kasutatavusse ja FFT abil saadud tulemustesse tuleb seetõttu suhtuda vajaliku kriitilisusega, kuna lisaks diskreetmisest tulenevatele iseärasustele tuleb lisaks arvesse võtta veel ka FFT enda olemusest tulenevaid iseärasusi (lühike ajaintervall ja sellest tulenevalt nn. vaatluse akna(funktsiooni) kasutamine, sünkroonsuse probleemid).[26]

FFT kasutatavus on praktikas laialdane (heli- ja sidetehnika, jm), kuna paljudel juhtudel suurt täpsust selle mõõtetehnilises mõttes ei nõuta (heli puhul loetakse piisavaks 1dB ehk ~10% täpsust). Arvutuse täpsuse probleemid on aga üldjuhul lahendatavad.[26]

Kiire DFT arvutamiseks kasutatakse mitu algoritmi: Cooley-Tukey FFT, Prime-factor FFTBruun's FFTRader's FFT, ja Bluestein's FFT.[26]

RakendusedRedigeeri

DFT on kasutatud paljudel aladel ja siin on näidatud ainult tähtsamad neist. Peaaegu kõik DFT rakendused otseselt põhinevad sellel põhimõttel, et DFT-d ja pöörd-DFT on võimalik efektiivselt arvutada Kiire Fourier' teisenduse abil .[6]

SpektraalanalüüsRedigeeri

Kui DFT-d kasutatakse spektraalanalüüsiks, siis   jada tavaliselt kujutab piiratud koguse ühtlaste aja vahedega paigutatud mingi signaali proove  , kus t on aeg. Üleminek pidevalt ajalt proovidele muudab   Fourier' teisendust Diskreetse aja Fourier teisenduseks (DTFT), mis tavaliselt tähendab deformeerimist (aliasing inglise keeles). Deformeerimise minimeerimiseks tuleb õigesti valida proovide võitmise sagedust, arvestades Nyquist-i sagedust. Samas, tuleb proovide jada konverteerida väga suurest(või lõpmatust) sobivaks, et vältida teist deformeerimist, nimetatud lekkimine, ehk resolutsiooni kaotamine DFT-s. Kui kättesaadav andmete hulk on liiga väike, või andmete töötlemiseks (vajaliku resolutsiooni leidmiseks) pole piisavalt aega, kasutatakse mitu DFT-d spektrogrammi tegemiseks. Tulemusena on võimsuse spekter kus esineb müra ja/või juhuslikud andmed, mida saab filtreerida mitu DFT tulemuste võrdlemisega. See protseduur vähendab spektri dispersiooni ja on nimetatud perioodgrammiks. Tuntud näited selle meetodi kasutamisest on Welchi ja Bartletti meetodid. Üldine meetod võimsuse spektri hindamiseks lärmaka signaali puhul on nimetatud spektraalne hindamine.[1]

DFT ise on lõplik moonutamise allikas, sest DFT on ainult diskreetne proovide võtmine pidevast funktsioonist. Seda on võimalik leevendada DFT resolutsiooni suurendamisega.[27]

Andmete pakkimineRedigeeri

Digitaalse signaalitöötluse valdkond põhineb sagedusdomeenis toimuvates operatsioonides (Fourier' teisenduse tulemustes). Näiteks andmekaostega piltide töötlus ja heli pakkimise meetodid kasutavad DFT-d: signaal on lõigatud lühikesteks segmentideks (proovide võtmine), iga lõik on transformeeritud, ja siis peaaegu märkamatu kõrgesageduslikud Fourier' koefitsiendid, kõrvaldatakse. Dekompressor arvutab pöördtransformatsiooni, mis põhineb uutel DFT väärtustel. Pakkimise rakendused kasutavad sageli spetsialiseeritud DFT vormi, diskreetse koosinus teisendust, või juba seda modifitseeritud versiooni. Mõned suhteliselt hiljutised kokkupakkimisalgoritmid kasutavad nn laineke teisendust, mis annab ühtlasema kompromissi aja ja sageduse domeenide vahel. JPEG2000 juhul, see väldib vigaste piltide tekkimist, mis ilmuvad, kui pildid on liiga palju tihendatud algse JPEG pakkimise tõttu.[28]

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandidRedigeeri

Diskreetne Fourier' teisendust kasutatakse sageli osatuletistega diferentsiaalvõrrandite ahendamisel, kus DFT-d kasutatakse Fourier' rea liigikaudseks arvutamiseks. Selle lähenemise eeliseks on see, et signaali laiendatakse kompleks eksponentideks  , mis on diferentseerimise tulemuste funktsioonide hulk:  . Seega Fourier' esindamises, diferentseerimine on lihtne – see on korrutamine väärtusega  . Lineaarne diferentsiaalvõrrand konstantsete kordajatega muundub kergesti lahendatavaks algebraliseks võrrandiks. Tulemuse tagasi aja domeeni teisendamiseks tuleb kasutada pöörd teisendust. Seda ka nimetatakse spektraalmeetodiks ehk spektraalanalüüsiks.[29]

Polünoomiline korrutamineRedigeeri

Oletame, et me soovime arvutada polünoomi c(x) = a(x) · b(x). Tavaline koefitsientide c väljend hõlmab lineaarset (atsüklilist) konvolutsiooni. Seda saab kirjutada tsüklilise konvolutsiooni kasutades, kui võtta koefitsient vektoriteks a(x) ja b(x) pideva väljendiga esimeseks, seejärel lisades nulle nii, et tulemus koefitsient vektorid a ja b on mõõtmes d > deg(a(x)) + deg(b(x)). Siis,

 

Kus c on koefitsientide vektor c(x), ja konvolutsiooni operaator   on

 

Aga konvolutsioon muutub korrutamiseks DFT all:

 

Siin on vektor võetud elemendi kaupa. Seega polünoomi koefitsiendid c(x) on vaid 0, ..., deg(a(x)) + deg(b(x)) ja koefitsient vektorist on

 

Kiire DFT algoritmi kasutuses ajaline keerukus on O (N log N). Teisenduse operatsiooni jaoks tavaliselt kasutatakse Cooley-Tukey FFT algoritmi, sest see on lihtne ja suhteliselt kiire. Sel juhul peab   olema väiksem täisarv, mis on suurem, kui sisend-polünoomi algtegurite summa.[30]

Suurte täisarvude korrutamineRedigeeri

Kõige kiirem tuntud algoritmidest väga suurte täisarvude korrutamiseks on polünoomide korrutamise meetod. Täisarve võib käsitleda, kui polünoomide väärtused väärtustatud konkreetse arvu alusel, koos polünoomi koefitsientidega, mis on selle arvu numbrid. Pärast polünoomilist korrutamist lõpetab korrutamise suhteliselt väikese keerukusega nn carry-paljundamine.[31]

KonvolutsioonRedigeeri

Kuna konvolutsioon on sagedus domeenis lihtsalt korrutamine, siis palju lihtsam on teisendada sisendid DFT abil, järgmisena teha korrutist ja viimasena teisendada tulemust pöördteisendusega tagasi aja domeeni.[32]

Olulised DFT paaridRedigeeri

    Nimetus
    Nihe
   
    Reaalne DFT
    Geomeetriline progressioon
    Binominaalne teoreem
      on W punktiline ristkujuline aknafunktsioon keskpunktiga n=0, kus W on paaritu reaalarv, ja   on sinc funktsioon.
    Skaleeritud Gaussi funktsioonide diskreetimine ja perioodiline liitmine, kus  .

ÜldistusedRedigeeri

Esinduse teooriaRedigeeri

DFT-d võib tõlgendada kui kompleksset piiratud tsüklilise rühma esinduse teooriat. Teisisõnu, n kompleksarvude jada võib olla tõlgendatud nägu n-mõõtmeline kompleksne ruum Cn või lõplikku tsüklilise kompleksarvude rühma funktsioon f, ZnC. f on tsükliline piiratud rühma klassi funktsioon, ning seda saab väljendada taandumatu tähemärkide lineaarse kombinatsioonina selles rühmas. Need märgid on ühe juured.[33]

Muud valdkonnadRedigeeri

Palju DFT omadustest sõltuvad ainult sellest, et   on primitiivsed ühe juured. Need omadused on täielikkus, ortogonaalsus, Plancherel/Parseval, perioodilisus, nihe, konvolutsioon ja paljud kiire DFT algoritmid. Seetõttu DFT-d võib defineerida ühe juure mõiste kasutades ka muudes valdkondades. Neid üldistusi tavaliselt nimetatakse number-teoreetilised teisendused (number-theoretic transforms (NTT)).[34]

Muud piiratud rühmadRedigeeri

Tavaline DFT tegeleb x0, x1, …, xN−1 kompleksarvude jadaga, mis võib olla vaadeldud funktsioonina {0, 1, …, N − 1} → C. Mitmemõõtmeline DFT tegeleb mitmemõõtmeliste jadadega, mis võivad olla vaadeldud funktsioonidena

 

Siis tavalist DFT-d vaadeldakse tsüklilise rühma Fourier' teisendusena, ja mitmemõõtmeline DFT on tsükliliste rühmade summa Fourier' teisendus.[35]

MärkusedRedigeeri

  1. Selles kontekstis   defineeritakse nägu N-is primitiivne ühe juur,  , saab järgmist vormi:
     
  2. DFT definitsiooni saab ka kirjeldada DFT maatriksi abil nagu lineaarne transformatsioon piiratud-mõõtmelises vektorruumis. Kui DFT on skaleeritud sobivalt, siis see muutub ühtlaseks maatriksiks ja XK on × koefitsiendid ortonormaalsel alusel.

ViitedRedigeeri

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Smith, Steven W. (1999). "Chapter 8: The Discrete Fourier Transform". The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (trükk: Second). San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 0-9660176-3-3. Vaadatud 31.10.2016. 
  2. Brigham, E. Oran (1988). The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-307505-2. 
  3. Strang, Gilbert (1994). "Wavelets". American Scientist 82 (3): 253. Vaadatud 31.10.2016. "This is the most important numerical algorithm of our lifetime..." 
  4. Sahidullah; Saha, Goutam (2012). "A Novel Windowing Technique for Efficient Computation of MFCC for Speaker Recognition". IEEE Signal Processing Letters 20: 149–152. Vaadatud 31.10.2016. 
  5. 5,0 5,1 5,2 Бахурин Сергей (2015). "Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)". Vaadatud 31.10.2016. 
  6. 6,0 6,1 J. Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). "The finite Fourier transform". IEEE Trans. Audio Electroacoustics 17 (2): 77–85. 
  7. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 
  8. Ricardo, Henry J. (2016). A Modern Introduction to Differential Equations. lk 428. 
  9. 9,0 9,1 9,2 Бахурин Сергей (2015). "Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ)". Vaadatud 31.10.2016. 
  10. 10,0 10,1 P. Duhamel; B. Piron; J. M. Etcheto (1988). "On computing the inverse DFT". IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 36 (2): 285–286. 
  11. 11,0 11,1 Juan G. Vargas-Rubio; Balu Santhanam (2005). "On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform". IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273–276. 
  12. 12,0 12,1 Nussbaumer, Henri J. (1982). Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. (trükk: Second Corrected and Updated Edition.). Springer-Verlag. lk pp. 134–137. 
  13. Arfken, G. (1985) "Convolution Theorem." §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, Vaadatud 2016-10-31
  14. 14,0 14,1 G.B. Wright, M. Javed, H. Montanelli, and L.N. Trefethen,(2015), "Extension of Chebfun to periodic functions," SIAM. J. Sci. Comput., 37 , C554-C573 Vaadatud 31-10-2016
  15. 15,0 15,1 Kamisetty Ramam Rao; Patrick C. Yip (2000). The Transform and Data Compression Handbook. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3738-8. Vaadatud 31.10.2016. 
  16. Julius O. Smith (2007). Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT): With Audio Applications. Julius Smith. ISBN 978-0-9745607-4-8. Vaadatud 31.10.2016. 
  17. TE 302 DISCRETE SIGNALS AND SYSTEMS 2004, Vaadatud 31-10-2016
  18. 18,0 18,1 J. H. McClellan; T. W. Parks (1972). "Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation". IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66–74. 
  19. Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). "Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices". IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245–2254. 
  20. 20,0 20,1 Massar, S.; Spindel, P. (2008). "Uncertainty Relation for the Discrete Fourier Transform". Physical Review Letters 100 (19). 
  21. DeBrunner, Victor; Havlicek, Joseph P.; Przebinda, Tomasz; Özaydin, Murad (2005). "Entropy-Based Uncertainty Measures for  , and   With a Hirschman Optimal Transform for  ". IEEE Transactions on Signal Processing 53 (8): 2690. Vaadatud 31.10.2016. 
  22. 22,0 22,1 Donoho, D.L.; Stark, P.B (1989). "Uncertainty principles and signal recovery". SIAM Journal on Applied Mathematics 49 (3): 906–931. 
  23. 23,0 23,1 Santhanam, Balu; Santhanam, Thalanayar S. (1988) "Discrete Gauss-Hermite functions and eigenvectors of the centered discrete Fourier transform", Proceedings of the 32nd IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP 2007, SPTM-P12.4), vol. III, pp. 1385-1388. Vaadatud 31-10-2016
  24. 24,0 24,1 Akansu, Ali N.; Agirman-Tosun, Handan (2010) "Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, no. 9, pp. 4547-4556, Vaadatud 31-10-2016
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 Richard tolimieri; Myoung An; Chao Lu (2012). Mathematics of Multidimensional Fourier Transform Algorithms. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4684-0205-6. Vaadatud 31.10.2016. 
  26. 26,0 26,1 26,2 26,3 C. Sidney Burrus, , Ivan Selesnick, Markus Pueschel, Matteo Frigo, and Steven G. Johnson (2008). Fast Fourier Transforms, Connexions, Vaadatud 31-10-2016
  27. Shamgar Gurevich; Ronny Hadani; Nir Sochen (2008). "The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar". IEEE Transactions on Information Theory 54 (9): 4239–4253. 
  28. David Salomon (20. märts 2007). Data Compression: The Complete Reference. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84628-603-2. Vaadatud 31.10.2016. 
  29. Nakhle H. Asmar (2016). "10". Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems: Third Edition. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-80737-9. Vaadatud 31.10.2016. 
  30. J.A. Storer (2001). "5". An Introduction to Data Structures and Algorithms. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4253-2. Vaadatud 31.10.2016. 
  31. Umberto Cherubini; Giovanni Della Lunga; Sabrina Mulinacci; Pietro Rossi (2010). Fourier Transform Methods in Finance. John Wiley & Sons. lk 208. ISBN 978-0-470-68492-4. Vaadatud 31.10.2016. 
  32. Smith, Stephen W (1997). "13.Convolution". The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (trükk: 1). California Technical Publishing. ISBN 0966017633. Vaadatud 31.10.2016. 
  33. Serre, Jean-Pierre: ''Linear Representations of Finite Groups.'' Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6.Jean-Pierre Serre (2012). Linear Representations of Finite Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4684-9458-7. Vaadatud 31.10.2016. 
  34. Vladimir P. Gerdt; Wolfram Koepf; Ernst W. Mayr; Evgenii V. Vorozhtsov (2013). Computer Algebra in Scientific Computing: 15th International Workshop, CASC 2013, Berlin, Germany, September 9-13, 2013, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-02297-0. Vaadatud 31.10.2016. 
  35. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, ISBN 978-0-521-45718-7 

VälislingidRedigeeri