Vektorruum

Matemaatikas nimetatakse vektorruumiks hulka, milles on defineeritud liitmine ja korrutamine skalaariga. Skalaarideks on tihti reaalarvud, kuid nendeks võivad olla ka kompleksarvud, ratsionaalarvud või üldiselt suvalise korpuse elemendid. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine peab rahuldama teatud hulka nõudeid nn vektorruumi aksioome, mis on loetletud all.

Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks.

Vektorruumid on lineaaralgebra üheks keskseks mõisteks.

Definitsioon

Tähistagu u, v ja w vektoreid ruumis V ja a ja b skalaare ehk korpuse K elemente. Vektorruumi aksioomid on järgmised:

Aksioomi nimetus	Formuleering
Liitmise assotsiatiivsus	u + (v + w) = (u + v) + w.
Liitmise kommutatiivsus	v + w = w + v.
Liitmise ühikelemendi olemasolu	Leidub selline vektor 0 ∈ V, et v + 0 = v iga v ∈ V jaoks. Seda vektorit nimetatakse nullvektoriks.
Liitmise pöördelemendi ehk vastandelemendi olemasolu	Iga vektori v ∈ V jaoks leidub selline vektor w ∈ V, et v + w = 0. Seda vektorit nimetatakse v vastandvektoriks ja tähistatkse −v.
Vektorite liitmise distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes	a(v + w) = av + aw.
Skalaariga korrutamise distributiivsus vektorite liitmise suhtes	(a + b)v = av + bv.
Skalaariga korrutamise ja skalaaride korrutamise ühilduvus	a(bv) = (ab)v (See aksioom ei tähenda assotsiatiivsust, kuna käsitletakse erinevaid tehteid: skalaariga korrutamist bv ja skalaaride korrutamistab.)
Skalaarse ühikelemendi olemasolu	1v = v, kus 1 tähistab multiplikatiivset ühikelementi korpuses K.

Kui skalaarid vektorrruumis V kuuluvad korpusesse K, siis räägitakse vektorruumist üle K.

Baas ja dimensioon

 Pikemalt artiklis Baas (matemaatika)

 Pikemalt artiklis Dimensioon (matemaatika)

Baasi olemasolu annab hea intuitiivse ülevaate vektorruumide struktuurist. Vektorruumi V üle K baasiks nimetatakse lineaarselt sõltumatute vektorite hulka B = {v_i| i ∈ I}, kus I tähistab indeksite hulka, et B lineaarne kate moodustaks V = <B>. Teisisõnu iga vektor v ∈ V on esitatav järgmise lineaarkombinatsioonina

v = a₁v_i1 + a₂v_i2 + ... = ∑_{i ∈ I} a_iv_i1

kus a_i ∈ K on skalaarid ja vektorid v_i ∈ B baasi elemendid. Hulga B elementide arvu (või võimsust)nimetatakse vektorruumi dimensiooniks ehk mõõtmeks ja tähistatakse dim(V) või dim V.

Igal vektorruumil on baas. Viimane järeldub Zorni lemmast, mis eeldab valikuaksioomi kehtivust. Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias on baasi olemasolu valikuaksioomiga ekvivalentne. Ultrafiltri lemmast, mis on nõrgem kui valikuaksioom, järeldub, et vektorruumi kõik baasid on võrdvõimsad. Kui vektorruumi lineaarse katte moodustab mõni lõplik hulk, on eelseisev tõestatav otseselt hulgateooriale toetumata.

Kui vektorruumis on defineeritud skalaarkorrutis, siis saab defineerida baasvektorid, mis on

• ortogonaalsed ehk omavahel "risti",
• normeeritud vektorid ehk ühikulise "pikkusega".

Sellist baasi nimetatakse ortonormaalseks baasiks.

Kaasruum

Vektorruumi V kaasruumiks V* nimetatakse antud ruumil määratud pidevate lineaarsete funktsionaalide hulka.. Kaasruumi elemente nimetatakse ka kovektoriteks.

Näiteid vektorruumidest

• Eukleidiline ruum on lõplikumõõtmeline vektorruum üle reaalarvude, milles on defineeritud skalaarkorrutis. Kolmemõõtmeliline eukleidiline ruum on vektorruum, mille elemente seostatakse põhikoolist tuttava vektorite "tavakäsitusega".
• Reaalarvud moodustavad ühemõõtmelise vektorruumi üle reaalarvude korpuse.
• Kompleksarvud moodustavad kahemõõtmelise vektorruumi üle reaalarvude ent ühemõõtmelise vektorruumi üle kompleksarvude korpuse.
• m × n järku maatriksid (üle korpuse K) moodustavad m × n dimensionaalse vektorruumi (üle korpuse K).
• Normeeritud ruumid on vektorruumid.
• Banachi ruumideks nimetatakse normeeritud täielikke vektorrruume.
• Hilberti ruumideks nimetatakse skalaarkorrutisega varustatud vektorrruume üle kompleksarvude, mis on täielikud skalaarkorrutise kaudu defineeritud normi suhtes.