Diferentsiaalvõrrand

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob otsitavaid (ühe või mitme muutuja) funktsioone, nende tuletisi (või osatuletisi) ja argumente.

Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitavate funktsioonide tuletiste kõrgeimat järku. Näiteks n-järku harilikku diferentsiaalvõrrandit, milles otsitavaks funktsiooniks on y, võib formaalselt esitada järgmiselt:

$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\,$.

Iga funktsiooni y=f(x), mis võrrandisse paigutatuna seda võrrandit x suhtes samaselt rahuldab, nimetatakse selle võrrandi lahendiks.

Diferentsiaalvõrrandite abil on võimalik modelleerida selliste reaalsete süsteemide käitumist, mida saab iseloomustada pidevalt muutuvate suuruste abil, kusjuures nende suuruste muutumise kiiruse ja suuruse endi vahel kehtib teatud kindel seos. Sel viisil on kirjeldatavad ka paljud loodusseadused. Näiteks klassikalises mehaanikas võimaldavad Newtoni seadused siduda kehade kiiruse, asukoha ja erinevad kehale mõjuvad jõud ühtseks diferentsiaalvõrrandiks.

Diferentsiaalvõrrandid on väga tihedalt seotud praktilise tegevusega mitmetel elualadel, nagu rakendusmatemaatikas, füüsikas ja inseneriteadustes.

Kaasaegsed uurimissuunad

Diferentsiaalvõrrandid on lai uurimisvaldkond puhtas matemaatikas, rakendusmatemaatikas, füüsikas ja inseneriteadustes. Kõik nimetatud distsipliinid tegelevad erinevat tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendite leidmisega. Kui puhtas matemaatikas keskendutakse peamiselt lahendite olemasolule ja ühesusele, siis rakendusmatemaatika rõhub kasutatavate lähendusmeetodite rangele põhjendamisele. Diferentsiaalvõrrandid etendavad olulist rolli väga paljude füüsikaliste, tehniliste ja bioloogiliste probleemide modelleerimisel. Neid kasutatakse taevakehade liikumise kirjeldamisest ja sillaehitusest kuni neuronite vahelise vastastikuse toime kirjeldamiseni.

Enamasti proovitakse leida diferentsiaalvõrrandite eksplitsiitseid lahendeid, kuid tihti pole see võimalik. Seetõttu on välja töötatud erinevaid meetodeid, mis võimaldavad öelda üht-teist diferentsiaalvõrrandi lahendite omaduste kohta neid võrrandeid eksplitsiitselt lahendamata või lahendada võrrand ligikaudselt, kasutades numbrilisi meetodeid.

Matemaatikud uurivad samuti nõrku lahendeid, mis ei pruugi kõikjal diferentseeruvad olla. See laiendus on tihti vajalik, et mõnel võrrandil lahend üleüldse olemas oleks. Samuti võib nimetatud meetod anda füüsikaliselt mõistlikumaid lahendeid .

Diferentsiaalvõrrandite lahendite stabiilsust uurivat valdkonda nimetatakse stabiilsusteooriaks. Viimane leiab olulisi rakendusi kaoseteoorias.

Diferentsiaalvõrrandite liigitus

Diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks puudub ühtne meetod, mistõttu jaotatakse need võrrandid erinevateks tüüpideks, mida eraldi uuritakse.

Üks võimalus võrrandeid liigitada on nende järgu järgi.

Harilikud ja osatuletistega diferentsiaalvõrrandid

Üldiselt saab diferentsiaalvõrrandid jagada kahte suurde klassi:

• Harilikud diferentsiaalvõrrandid on diferentsiaalvõrrandid, milles otsitav (otsitavad) on ühe muutuja funktsioon (funktsioonid). n-järku hariliku diferentsiaalvõrrandi üldkuju on:

$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\,$.

• Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid on diferentsiaalvõrrandid, milles otsitav (otsitavad) on mitme muutuja funktsioon (funktsioonid). Osatuletistega diferentsiaalvõrrandi üldkuju on:

$F(x,y,z,...,f,f_{x},f_{y},f_{y},...,f_{xx},f_{xy},f_{xz}...)=0\,$,

kus f on otsitav funktsioon ja $f_{x}$ tähistab osatuletist muutuja x järgi, $f_{y}$ tähistab osatuletist muutuja y jne.

Lineaarsed ja mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Nii harilikke kui ka osatuletistega diferentsiaalvõrrandeid saab jaotada lineaarseteks ja mittelineaarseteks. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui otsitav funktsioon (otsitavad funktsioonid) ja kõik selle tuletised esinevad võrrandis esimeses astmes, st lineaarfunktsioonides. Vastupidisel juhul nimetatakse diferentsiaalvõrrandit mittelineaarseks. Lineaarsete võrrandite lahendid moodustavad sobiva funktsioonide ruumi afiinse alamruumi.

Näiteks hariliku ühe otsitava funktsiooniga n-järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju on

$f_{0}(x)y+f_{1}(x)y'+...+f_{n}(x)y^{(n)}=F(x)\,$,

kus funktsiooni F(x) nimetatakse võrrandi vabaliikmeks.

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid jagunevad omakorda homogeenseteks ja mittehomogeenseteks. Homogeenseks nimetatakse võrrandit, mis ei sisalda vabaliikmeid. Homogeense võrrandi lahendite lineaarkombinatsioon on samuti selle võrrandi lahendiks.

Mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite eksplitsiitseks lahendamiseks on seni vähe võimalusi. Mittelineaarsete võrrandite lahendid võivad käituda vägagi keerukalt, nagu on iseloomulik kaosele. Tihti on raske kindlaks teha isegi lahendite olemasolu ja ühesust.

Teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandite liigitus

Laialt kasutust leidvad teist järku osatuletistega lineaarsed diferentsiaalvõrrandid jaotatakse omakorda elliptilist, hüperboolset ja paraboolset tüüpi diferentsiaalvõrranditeks. Samu mõisteid on üldistatud ka mittelineaarsetele võrranditele.

Näiteid

Esimeses näidete rühmas esitatakse mõned harilikud diferentsiaalvõrrandid. Olgu u tundmatu funktsioon argumendiga x, u′ olgu selle funktsiooni esimene tuletis ja u′′ – teine tuletis. c ja ω on tuntud kordajad.

• Mittehomogeenne esimest järku harilik diferentsiaalvõrrand:

$u'=cu+x^{2}.\,$

• Homogeenne teist järku harilik diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab harmoonilist ostsillaatorit:

$u''+\omega ^{2}u=0.\,$

• Homogeenne teist järku harilik diferentsiaalvõrrand:

$u''-xu'+u=0.\,$

• Esimest järku harilik mittelineaarne diferentsiaalvõrrand:

$u'=u^{2}+1.\,$

• Teist järku mittelineaarne diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab pendlit pikkusega L:

$gu''+L\sin u=0.\,$

Teises näidete rühmas esitatakse mõned osatuletistega diferentsiaalvõrrandid. Olgu otsitav funktsioon u sõltuv muutujatest x ja t või x ja y. Osatuletisi tähistatakse allindeksite abil: näiteks u_tx tähistab segatuletist muutujates t ja x.

• Homogeenne osatuletistega diferentsiaalvõrrand:

$u_{t}+tu_{x}=0.\,$

• Homogeenne elliptilist tüüpi teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand, Laplace'i võrrand:

$u_{xx}+u_{yy}=0.\,$

• Kolmandat järku mittelineaarne diferentsiaalvõrrand, Kortewegi–de Vriesi võrrand:

$u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}.\,$

Tarkvara

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Olulisi diferentsiaalvõrrandeid

• Newtoni teine seadus
• Hamiltoni võrrandid klassikalises mehaanikas
• Radioaktiivse lagunemise seadus tuumafüüsikas
• Newtoni jahtumisseadus termodünaamikas
• Lainevõrrand
• Maxwelli võrrandid elektromagnetismis
• Soojusjuhtivuse võrrand termodünaamikas
• Laplace'i võrrand, millega defineeritakse harmoonilised funktsioonid
• Poissoni võrrand
• Einsteini väljavõrrandid üldrelatiivsusteoorias
• Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas
• Geodeetilise joone võrrand
• Navier-Stokesi võrrandid hüdrodünaamikas
• Lotka-Volterra võrrand populatsioonidünaamikas
• Blacki-Scholesi võrrand majandusteaduses
• Cauchy-Riemanni võrrandid kompleksmuutuja funktsioonide teoorias
• Poissoni-Boltzmanni võrrand molekulaardünaamikas

Vaata ka

• Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand
• Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand
• Fabritseeritud lahendite meetod

Kirjandus

• V. I. Arnold. Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Auflage, 2001 Google'i raamat
• Paul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall. Differential equations, 3. trükk, 2005 Google'i raamat

Välislingid

• Wolfram MathWorld, Differential equation (inglise keeles)