Osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks (lühidalt ODV) nimetatakse võrrandit, mis sisaldab otsitavat funktsiooni $u(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ja selle osatuletisi. Osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks nimetatakse diferentsiaalvõrrandeid, kus otsitavaks on mitme muutuja funktsioon ja võrrand sisaldab osatuletisi.

Teist järku ODV lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Teist järku ODV

Teist järku ODV sisaldab otsitavat funktsiooni ja tema osatuletisi, kusjuures osatuletised ei ole kõrgemad kui teist järku. Üldkujul on tegemist $n$-muutujaga teist järku ODV. Seega

$F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i},x_{k}}}\right)=0\quad i,k=1,2,\ldots ,n$

Lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Vaatleme kahe sõltumatu muutujaga $x,y$ teist järku ODV-si. Seega nende üldkuju on

$F\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=0$, kasutades tähistust ${\dfrac {\partial u}{\partial x}}=u_{x}$, ${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}=u_{xy}$

saab viimast kompaktsemalt esitada $F(x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0$

• Lineaarseks nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandit, kui see on lineaarne lahendi $u$ ning selle osatuletiste suhtes. See tähendab, et osatuletised on esimeses astmes ja kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest $x,y$.

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+cu=f,$

kus $a_{ij},b_{i},c$ ja $f$ sõltuvad $(x,y)$-st.

• Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne võrrand on kujul

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0,$

kus $a_{ij}$ sõltuvad $(x,y)$-st.

• Kvaasilineaarse võrrandi korral sõltuvad kordajad $a_{ij}$ peale $x,y$-i ka $u$-st ja tema esimest järku osatuletistest.

Teist järku ODV kanoonilised kujud

• Elliptiline: $u_{x_{1}x_{1}}+u_{x_{2}x_{2}}+\ldots +u_{x_{n}x_{n}}=\phi$
• Hüperboolne: $u_{x_{1}x_{1}}=\sum _{i=2}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi$
• Ultrahüperboolne: $\sum _{i=1}^{m}u_{x_{i}x_{i}}=\sum _{i=m+1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi$
• Paraboolne: $\sum _{i=1}^{n-m}(\pm u_{x_{i}x_{i}})=\phi ,\,m>0$

Kirjandus

• Matemaatilise füüsika võrrandid, Teet Örd, Ivar-Igor Saarniit, Küllike Rägo, Urve Kanrgro, Tartu Ülikool 2019
• Matemaatilise füüsika võrrandid, Enno Paisi konspekt, koostanud Mirko Mustonen, Tallinn 2013