Ava peamenüü

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.

Füüsikas on kohavektori tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus.

Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi.

Sisukord

MääratlusRedigeeri

Tuletis antud kohalRedigeeri

Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon   ning   mõni reaalarv funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus  , siis seda nimetatakse funktsiooni   tuletiseks kohal   ning tähistatakse sümboliga  .

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et   on hulga   sisepunkt.

Kui funktsioonil   on lõplik tuletis kohal  , nimetatakse funktsiooni   diferentseeruvaks kohal  .

Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul  , kus  .

Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletisedRedigeeri

Kui funktsioon   on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna   punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon   on diferentseeruv.

Kui funktsioon   on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina  .

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni   tuletiste olemasolu. Funktsiooni   tuletist nimetatakse funktsiooni   teist järku tuletiseks ning tähistatakse  . Kui funktsioon   on diferentseeruv ehk funktsioonil   on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni   kaks korda diferentseeruvaks.

Samamoodi, kui funktsioon   on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni   kolmandat järku tuletis   jne. Üldiselt, funktsiooni    -ndat järku tuletist kohal  , kus  , tähistatakse  .

TähistusiRedigeeri

Lagrange'i tähistusRedigeeri

Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:

  – funktsiooni   tuletis kohal  
  – teist järku tuletis
  – kolmandat järku tuletis
  ehk   – neljandat järku tuletis
  -ndat järku tuletis ( )

Leibnizi tähistusRedigeeri

Kui muutujate   ja   vahel on seos  , siis nii funktsiooni   tuletisfunktsiooni   kui ka selle väärtust kohal   tähistatakse Leibnizi tähistuses  .

Leibnizi tähistust põhjendab seos  , kus   on suuruse   muut ning   on vastav suuruse   muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega  .

Kõrgemat järku tuletise   jaoks kasutatakse tähistust  .

Newtoni tähistusRedigeeri

Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe   asemel enamasti tähte  ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja   sõltuvust ajast   kirjeldab seos  , siis funktsiooni   tuletisi tähistatakse

 
 

ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus  -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

NäideRedigeeri

Olgu  , sellisel juhul   ja

 

Tuletise rakendusiRedigeeri

MatemaatikaRedigeeri

L'Hospitali reegelRedigeeri

  Pikemalt artiklis L'Hospitali reegel

Kui   ja leidub  

või   ja leidub  

siis kehtib võrdus

 

Näiteks  

Taylori valemRedigeeri

  Pikemalt artiklis Taylori valem

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

 

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni   lähendamine x = 0 juures:

 

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse   vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui n ≥ 0 on täisarv ja   on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv   nii, et  

Funktsiooni uurimineRedigeeri

Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon kasvab selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon kahaneb antud lõigus. Funktsiooni tuletise nullkohad on funktsiooni lokaalseteks miinimum- ja maksimumkohtadeks.

Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku kõverusraadiuse. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt kumer või nõgus. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse käänupunktideks.

FüüsikaRedigeeri

Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning liikumisvõrrandite kirjapanemine.

Näide: Kiirus ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaadisüsteemis sirgjooneliselt võrrandi   järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel   võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis:  . Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk kiirenduse:  . Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.

Näide: Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirusega, st F = – k v, kus k on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt Newtoni II seadusele

 

kus   on kiirendus ja m on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.

ÜldistusiRedigeeri

Diskreetne matemaatikaRedigeeri

Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis).  

Näide: olgu  

 

Vaata kaRedigeeri