Piirväärtus

See artikkel räägib funktsiooni piirväärtusest; jada piirväärtuse kohta vaata artiklit Jada piirväärtus.

---

Funktsiooni $f(x)$ piirväärtuseks kohal $a$ nimetatakse arvu $A$, kui suvalise arvu ε > 0 korral leidub selline arv δ > 0, et iga $x\in X$ korral kehtib võrratus

$\ |f(x)-A|<\varepsilon \quad$ alati kui $0<|x-a|<\delta ,$

kus

• δ on punkti $a$ ümbrus ehk suvaline vahemik, millesse punkt $a$ kuulub ( $x$ kuulub $a$ ümbrusse raadiusega δ);
• ε on funktsiooni $f(x)$ vastava väärtuse ümbrus ( $f(x)$ kuulub $A$ ümbrusse raadiusega ε).

Seda, et arv $A$ on funktsiooni piirväärtus protsessis $x\to a$, märgitakse nii:

$\lim _{x\to a}f(x)=A.$

Definitsiooni järgi on arv $A$ funktsiooni $f$ piirväärtus kohal $a$ parajasti siis, kui andes ette kuitahes väikese positiivse arvu ε, saab alati valida punkti $a$ ümbruse ($a$ - δ, $a$ + δ) nii, et funktsiooni $f$ väärtused rahuldavad tingimust

$f(x)\in (A-\varepsilon ,A+\varepsilon )\quad \forall x\in (a-\delta ,a+\delta )\backslash \{a\}.$

Funktsiooni piirväärtus ei näita funktsiooni väärtust vaadeldaval kohal, ta iseloomustab vaid funktsiooni väärtusi vaadeldava koha ümbruses.

Näited

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}-4}{x-2}}=\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x+2)}{x-2}}=\lim _{x\to 2}(x+2)=4.$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {5x^{3}-1}{3x^{3}+x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}(5-{\frac {1}{x^{3}}})}{x^{3}(3+{\frac {1}{x^{2}}})}}={\frac {5}{3}}.$

Vaata ka

• Funktsioon
• Tuletis
• Jada piirväärtus