Punkt (matemaatika)

Punkt on elementaargeomeetrias objekt, mida näitlikustatakse mõõtmeteta ruumiosana. Geomeetria aksiomaatilises käsitluses on punkt üks algmõisteid.

Mis tahes meetrilise ruumi või üldiselt topoloogilise ruumi elemente nimetatakse punktideks.[1]

Geomeetrias nimetatakse hulka, mille elementideks on punktid, punktihulgaks või ka kujundiks.

AntiikgeomeetriaRedigeeri

Punkti mõiste kujunes välja abstraktsioonina väikesest ruumiosast, sellele omistati mõõtmete puudumine. Proklose andmetel defineeris punkti esimesena Pythagoras, kelle järgi punkt on üks (monas), millel on asukoht. Eukleidese "Elementide" (umbes 300 eKr) esimene definitsioon ütleb, et punkt (σημεῖον, sēmeion, 'märk') on see, millel pole osi. Antiikfilosoofid, näiteks Aristoteles (De generatione et corruptione) arutasid raskusi seoses ulatuseta punktide ning nendest koosnevateks peetud ulatusega sirgete vahekorraga.

Tänapäevane sünteetiline geomeetriaRedigeeri

Tänapäevases sünteetilises geomeetrias ei ole punktide ja sirgete tõelise loomusel põhimõttelist tähtsust, loevad ainult geomeetriliste objektide omavahelised suhted, mille määrab aksiomaatika. David Hilbertile omistatakse ütlus, et "punktide, sirgete ja tasandite" asemel saab alati öelda "lauad, toolid ja õllekruusid", peaasi, et aksioomid on täidetud. Näiteks ütleb Hilberti aksiomaatika esimene aksioom: "Kaks eri punkti P ja Q määravad alati ühe sirge g. Punktimõiste tähendus tuleneb aksiomaatikast kui tervikust, punkti ei pea tingimata tõlgendama ulatuseta objektina. Projektiivsel tasandil on punkti ja sirge mõiste isegi täiesti vahetatavad.

Analüütiline geomeetriaRedigeeri

Tänapäeva analüütilises geomeetrias kujutatakse geomeetrilist ruumi  -mõõtmelise vektorruumina üle korpuse  . Selle vektorruumi elemente nimetatakse punktideks. Selle vektorruumi baas määrab koordinaadisüsteemi ning vektori komponente selle baasi suhtes nimetatakse punkti koordinaatideks. Punkti mõõde on null.

Kõik teised geomeetrilised kujundid defineeritakse punktide hulkadena (punktihulkadena). Näiteks defineeritakse sirge ühemõõtmelise afiinse alamruumina ja tasand kahemõõtmelise afiinse alamruumina. Kerapind defineeritakse teatud punktist teatud kaugusel asetsevate punktide hulgana.

AjaluguRedigeeri

Punkti mõiste kujunes välja abstraktsioonina väikesest ruumiosast, sellele omistati mõõtmete puudumine. Eukleidese "Elementides" defineeritakse punkt kui "see, millel pole osi".

Analüütilise geomeetria loomine võimaldas punkte esitada koordinaatide abil.

Hulgateooria teke võimaldas käsitada ruumi kui punktidest moodustatud hulka.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

VälislingidRedigeeri