Taylori valem

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioonRedigeeri

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

 

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

 

Vea hinnangRedigeeri

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse   vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja   on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv   nii, et
 

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

 

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

 

NäitedRedigeeri

EksponentfunktsioonRedigeeri

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni   lähendamine x = 0 juures:

 

Trigonomeetrilised funktsioonidRedigeeri

 
 
 
Kus Bs on Bernoulli numbrid.

Mitme muutuja funktsiooni Taylori ridaRedigeeri

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1 reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses diferentseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Vaata kaRedigeeri

VälislingidRedigeeri

  Salman Khan. "CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008" (xHTML) (inglise keeles). http://khanexercises.appspot.com/. Khan Academy. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  
  David Jerison. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  
  Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  
  Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x)" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  
  Christine Breiner. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents: