Tasandil on hulk punkti ümbruseks parajasti siis, kui sisaldab mingit ringi keskpunktiga
Ristkülik tasandil ei ole oma nurkadele ümbruseks

Ümbrus on matemaatiline mõiste, mis määratletakse kõige üldisemal kujul topoloogias, kuid mida kasutatakse ka teistes matemaatika harudes, näiteks matemaatilises analüüsis. Ümbrus on matemaatilises analüüsis kasutatava ε-ümbruse mõiste üldistus. Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata.

Definitsioon topoloogilises ruumisRedigeeri

Olgu   topoloogiline ruum.

Punkti ümbrusRedigeeri

Olgu   ja  . Hulka   nimetatakse punkti   ümbruseks, kui   sisaldab mingit lahtist hulka  , millesse kuulub punkt  .

Punkti kõigi ümbruste hulka nimetatakse selle punkti ümbruste süsteemiks. Punkti   ümbruste süsteemi tähistatakse   või (kui on selge, missugust topoloogiat vaatleme)  .

Hulga ümbrusRedigeeri

Olgu   ja  . Hulka   nimetatakse hulga   ümbruseks, kui   sisaldab mingit lahtist hulka  , mis sisaldab hulka  .

Seega hulk   on hulga   ümbrus parajasti siis, kui   kõigi hulga   punktide ümbrus.

Lahtine ümbrusRedigeeri

Ümbrus   ei pea ise lahtine olema. Kui   on lahtine hulk, siis nimetatakse teda (punkti   või hulga  ) lahtiseks ümbruseks. Mõnedes allikates mõeldaksegi sõna ümbrus all aga lahtist ümbrust.

Punkti ε-ümbruse ja ümbruse definitsioon meetrilises ruumisRedigeeri

Punkti ε-ümbrusRedigeeri

Olgu   meetriline ruum,   ja  . Punkti    -ümbruseks ehk lahtiseks keraks keskpunktiga   ja raadiusega   nimetatakse siis hulka  .

Punkti ümbrusRedigeeri

Iga meetrilist ruumi võime vaadelda topoloogilise ruumina (vt alajaotust Meetriline ruum topoloogilise ruumina artiklis Topoloogiline ruum) ja nii saame meetrilises ruumis kasutada eeltoodud punkti ja hulga ümbruse definitsioone topoloogilises ruumis. Kui aga näiteks punkti ümbruse definitsioon meetrilise ruumi jaoks ilma topoloogia mõistet kasutamata lahti kirjutada, saame järgneva definitsiooni:

Olgu   meetriline ruum,   ja  . Hulka   nimetatakse punkti   ümbruseks, kui   sisaldab mingit lahtist kera keskpunktiga  .

Lihtne on veenduda, et eeltoodud punkti ümbruse definitsioonis sõnade "lahtine kera" asendamisel sõnadega "kinnine kera" või lihtsalt sõnaga "kera" (s. o. lahtine või kinnine kera) saaksime samaväärse definitsiooni.

Reaalarvu ε-ümbruse ja ümbruse definitsioonRedigeeri

Arvestades, et kõigi reaalarvude hulk   on meetriline ruum kaugusega  , määratletakse reaalteljel punkti ε-ümbrus ja ümbrus järgnevalt:

Olgu   ja  . Punkti    -ümbruseks nimetatakse vahemikku  . Punkti   ümbruseks nimetatakse iga reaalarvuhulka, mis sisaldab mingi   korral punkti    -ümbrust.