See artikkel räägib matemaatika mõistest; muude tähenduste kohta vaata artiklit Maatriks (täpsustus).

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks.

m × n maatriks: m rida on horisontaalsed ja n veergu on vertikaalsed. Maatriksi iga elementi tähistatakse sageli kahe alaindeksiga tähega. Näiteks a2,1 tähistab teises reas ja esimeses veerus paiknevat elementi

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu.

Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Maatrikseid uurib maatriksite teooria.

Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2.

Definitsioonid ja tähistused

muuda

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks

 

on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks.

Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari m × n nimetatakse 'maatriksi järguks[1] ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve m ning n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.)

Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks

 

on 1 × 3 reavektor.

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga (näiteks a11 või a1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit

 

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil:

 
või ka  , kui  . Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij. Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist ( ).

Maatriksi A elementi i-ndas reas ja j-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi i,j-elemendiks või (i, j) elemendiks ning tähistatake tavaliselt ai,j või aij, mõnikord A[i,j] või Ai,j. Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element (a13, a1,3, A[1,3], A1,3) on 5:

 .

Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga: ai,j = f(i, j). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga aij = ij.

 

Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = [ij] või A = ((ij)). Kui maatriksi mõõtmed on m × n, siis valem f(i, j) kehtib, kui i = 1, ..., m ja j = 1, ..., n. Seda võib eraldi mainida või anda m × n alakirjas, meie juhtumil A = [ij] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) või A = [ij]3×4.

Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks ai,∗ on maatriksi A i-s rida ja a∗,j on maatriksi A j-s veerg.

Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega

muuda

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine

muuda
  Pikemalt artiklis Maatriksite liitmine
  Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine
  Pikemalt artiklis Transponeeritud maatriks

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.

Tehe Definitsioon Näide
Liitmine Olgu A ja B m × n maatriksid üle ringi R. Siis A ja ''B summa A+B vahel leitakse elementhaaval:
(A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 ≤ im and 1 ≤ jn.

 

Skalaariga korrutamine Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:
(cA)i,j = c · Aij.
 
Transponeerimine m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade äravahetamisel:
(AT)i,j = (A)j,i.
 

Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks A + B = B + A.

Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine

muuda
 
Üldistatud kuju meeldetuletusega, et esimese maatriksi ridade arv peab võrduma teise maatriksi veergude arvuga
  Pikemalt artiklis Maatriksite korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

 

iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks

 

ja sarnaselt

 

Maatriksite korrutamine on:

Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul

ABBA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Pöördmaatriks

muuda
  Pikemalt artiklis Pöördmaatriks

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust

 

kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga  . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.

Rakendused lineaaralgebras

muuda

Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.

Lineaarvõrrandisüsteemid

muuda
  Pikemalt artiklis Lineaarvõrrandisüsteem

Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul:

 .

See süsteem koosneb   lineaarvõrrandist   tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina:

 ,

kus

 +

Maatriks   on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor   on tundmatute vektor ja veeruvektor   on mingi etteantud vektor.

Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor   oleks maatriksi   lineaarkombinatsioon, ja siis vektor   on koefitsientide vektor vektori   lahutuseks maatriksi   veergude järgi.

Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina:

maatriksi   astak võrdub maatriksi   veergudest ja veerust moodustatud   moodustatud maatriksi   astakuna.

Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga (  ehk   on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi   pööratavusega.

(Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide:  .)

Kui maatriks   on pöötatav, siis süsteemi lahend on

 .

Sellest tuleneb Crameri meetod.

Lineaarkujutused

muuda
  Pikemalt artiklis Lineaarkujutus

Vaatleme lineaarkujutust    -mõõtmelisest vektorruumist    -mõõtmelisse vektorruumi  , millel on järgmine kuju:

 .

Maatrikskujul on see

 ,

kus maatriks   on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks.

Kui vaadelda lineaarkujutuse   mõju vektoritele kujul

 ,

mis moodustavad vektorruumi   baasi, siis   on maatriksi    -s veerg.

Niisiis kirjeldab maatriks   lineaarkujutust   täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks.


Vaata ka

muuda

Viited

muuda
  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)

Välislingid

muuda
Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid