Z-teisendus
See artikkel ootab keeletoimetamist. (Juuni 2021) |
See artikkel sisaldab en.wikipedia artikli „Z-transform“ osalist või täielikku tõlget. Originaali autorite nimekirja nägemiseks vaata tema ajalugu. (Eelnev kehtib versiooni 5915153 ja sellele järgnevate kohta.) |
Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.
DefinitsioonRedigeeri
On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: kahepoolne ja ühepoolne Z-teisendus.
Kahepoolne Z-teisendusRedigeeri
Diskreetse-ajalise signaali kahepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:
kus on täisarv ja on üldjuhul kompleksarv:
- ,
kus on kompleksarvu absoluutväärtus, on imaginaarühik ning on kompleksarvu argument radiaanides.
Ühepoolne Z-teisendusRedigeeri
Juhul, kui on defineeritud ainult jaoks, ühepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:
Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.
Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust ning funktsioon on üldiselt kujutatud nagu (kus ). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.
Pöörd-Z-teisendusRedigeeri
Pöörd-Z-teisendus on
kus C on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et C rada peab ümbritsema kõik pooluseid.
Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui C on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:
Z-teisendus n lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega z väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on z piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.
KonvergentsipiirkondRedigeeri
Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.
Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata)Redigeeri
Olgu x[n] = (0.5)n. Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub
Vaadates summa
Järelikult, pole z väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.
Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond)Redigeeri
Olgu (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub
Vaadates summa
Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5z−1| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| > 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".
Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond)Redigeeri
Olgu (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub
Vaadates summa
Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1z| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| < 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| < 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5.
Sellist näidet eelnevast eristab ainult konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav.
Näidete kokkuvõteRedigeeri
Näited 2 ja 3 näitavad, et x[n] Z-teisendus X(z) on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid mitte kunagi.
Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = 0.
Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |z| = ∞ ega |z| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks,
sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 < |z| < 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)nu[n] ja antikausaalse piiri −(0.75)nu[−n−1].
Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|z| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |z| > 0.5 sisaldab ühikringi.
Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane x[n]). Me saame määrata unikaalset x[n] tingimusel, et soovime:
- Stabiilsust
- Kausaalsust
Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.
Seejärel saab leida unikaalset x[n].
OmadusedRedigeeri
Ajadomeen | Z-domeen | Tõestus | Konvergentsipiirkond | |
---|---|---|---|---|
Esitus | ||||
Lineaarsus | Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2 | |||
Aja paisumine |
with |
|||
Alasämplimine | ohio-state.edu või ee.ic.ac.uk | |||
Aja viivitus |
koos ja |
Konvergentsipiirkond, va z = 0 kui k > 0 ja z = ∞ kui k < 0 | ||
Aja edasiviimine |
koos |
Kahepoolne Z-teisendus:
|
||
Esimene erinevus tagasi |
koos x[n]=0 n<0 jaoks |
Sisaldab X1(z) konvergentsipiirkonna ja z ≠ 0 ühisosa | ||
Esimene erinevus edasi | ||||
Aja ümberpööramine | ||||
Skaleerimine z-domeenis | ||||
Kaaskompleks | ||||
Reaalosa | ||||
Imaginaarosa | ||||
Diferentseerimine | Konvergentsipiirkond, kui on ratsionaalarv;
on võimalik, et konvergentsipiirkond possibly välistab piiri, kui ei ole ratsionaalarv[2] | |||
Konvolutsioon | Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2 | |||
Krosskorreleerimine | Sisaldab ja konvergentsipiirkondade ühisosa | |||
Akumulatsioon | ||||
Korrutamine | - |
Parseval teoreem
Vaata kaRedigeeri
ViitedRedigeeri
- ↑ Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (itaalia). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1.
- ↑ A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters. 52 (8): 617–619. DOI:10.1049/el.2016.0189.