Z-teisendus

Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.

DefinitsioonRedigeeri

On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: kahepoolne ja ühepoolne Z-teisendus.

Kahepoolne Z-teisendusRedigeeri

Diskreetse-ajalise signaali   kahepoolse Z-teisenduse   valem on defineeritud selliselt:

 

kus   on täisarv ja   on üldjuhul kompleksarv:

 ,

kus   on   kompleksarvu absoluutväärtus,   on imaginaarühik ning   on kompleksarvu argument radiaanides.

Ühepoolne Z-teisendusRedigeeri

Juhul, kui   on defineeritud ainult   jaoks, ühepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:

 

Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.

Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent   on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust   ning funktsioon   on üldiselt kujutatud nagu   (kus  ). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.

Pöörd-Z-teisendusRedigeeri

Pöörd-Z-teisendus on

 

kus C on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et C rada peab ümbritsema kõik   pooluseid.

Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui C on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui   on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:

 

Z-teisendus n lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega z väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on z piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.

KonvergentsipiirkondRedigeeri

Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.

 

Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata)Redigeeri

Olgu x[n] = (0.5)n. Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

 

Vaadates summa

 

Järelikult, pole z väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.

Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond)Redigeeri

 
Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise värviga, ühiku ring hallpunktiirjoonega ning ring |z| = 0.5 mustkriipsjoonega.

Olgu   (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

 

Vaadates summa

 

Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5z−1| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| > 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".

Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond)Redigeeri

 
Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise värviga, ühiku ring hallpunktiirjoonega ning ring |z| = 0.5 mustkriipsjoonega.

Olgu   (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

 

Vaadates summa

 

Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1z| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| < 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| < 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5.

Sellist näidet eelnevast eristab ainult konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav.

Näidete kokkuvõteRedigeeri

Näited 2 ja 3 näitavad, et x[n] Z-teisendus X(z) on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid mitte kunagi.

Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = 0.

 
Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise ringina 0.5 < |z| < 0.75

Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |z| = ∞ ega |z| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks,

 

sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 < |z| < 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)nu[n] ja antikausaalse piiri −(0.75)nu[−n−1].

Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|z| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |z| > 0.5 sisaldab ühikringi.

Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane x[n]). Me saame määrata unikaalset x[n] tingimusel, et soovime:

  • Stabiilsust
  • Kausaalsust

Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.

Seejärel saab leida unikaalset x[n].

OmadusedRedigeeri

Z-teisenduse omadused
Ajadomeen Z-domeen Tõestus Konvergentsipiirkond
Esitus      
Lineaarsus       Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2
Aja paisumine  

with  

     
Alasämplimine     ohio-state.edu  või  ee.ic.ac.uk
Aja viivitus  

koos   ja  

    Konvergentsipiirkond, va z = 0 kui k > 0 ja z = ∞ kui k < 0
Aja edasiviimine  

koos  

Kahepoolne Z-teisendus:

 
Ühepoolne Z-transform:[1]
 
Esimene erinevus tagasi  

koos x[n]=0 n<0 jaoks

  Sisaldab X1(z) konvergentsipiirkonna ja z ≠ 0 ühisosa
Esimene erinevus edasi    
Aja ümberpööramine        
Skaleerimine z-domeenis        
Kaaskompleks      
Reaalosa    
Imaginaarosa    
Diferentseerimine       Konvergentsipiirkond, kui   on ratsionaalarv;

on võimalik, et konvergentsipiirkond possibly välistab piiri, kui   ei ole ratsionaalarv[2]

Konvolutsioon       Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2
Krosskorreleerimine     Sisaldab   ja   konvergentsipiirkondade ühisosa
Akumulatsioon      
Korrutamine     -

Parseval teoreem

 

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (itaalia keeles). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1. 
  2. A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters 52 (8): 617–619. doi:10.1049/el.2016.0189.