Lõpmatus

Lõpmatus (sümbol $\infty$) on omadus, mis seisneb piiramatuses. Lõpmatuks nimetatakse tavaliselt seda, millel pole ruumilist ega ajalist piiri.

Matemaatikas eristatakse lõpmatuse astmeid, sest on võimalik näidata, et ühtedel lõpmatutel hulkadel on suurem võimsus kui teistel. Georg Cantor rajas transfiniitsete arvude süsteemi, milles esimene transfiniitne kardinaalarv on alef-null ($\aleph _{0}$), mis on naturaalarvude hulga võimsus.

Antiikaegne arusaam lõpmatusest

Traditsiooniline arusaam pärineb Aristoteleselt:

... on alati võimalik mõelda suuremast arvust; sest suurust saab poolitada lõputu arv kordi. Seetõttu on lõpmatus potentsiaalne, mitte kunagi aktuaalne; osade arv, mida saab võtta, ületab alati iga etteantud arvu. ("Füüsika" 207b 8)

Seda nimetatakse sageli potentsiaalseks lõpmatuseks.

Ajalugu

Muistsetel kultuuridel oli mitmeid ideid lõpmatuse olemusest. Iidsed indialased ja kreeklased ei määratlenud lõpmatust täpse formaalsusega nagu seda teeb tänapäevane matemaatika. Selle asemel lähenesid nad lõpmatusele kui filosoofilisele kontseptsioonile.

Varajane Kreeka

Varasem kirje lõpmatuse ideest tuleb Anaximandroselt, kes oli Mileetosest pärit kreeka filosoof. Ta kasutas sõna apeiron, mis tähendab lõpmatu või piiramatu. Esimesed matemaatilised tõestused lõpmatusest tulevad Zenon Eleastilt. Aristoteles kutsus teda dialektika leiutajaks. Ta on kõige tuntum oma paradokside poolest.

Vastuolus Aristotelese traditsioonilise seisukohaga eelistasid hellenistlikud kreeklased üldiselt potentsiaalset lõpmatust tegelikust lõpmatusest eristada.

Varajane India

Džainistlik matemaatiline tekst "Surya Prajnapti" liigitab kõik arvud kolmeks: loendamatu, lugematu ja lõpmatu. Igaüks neist jagatakse kolme järjestusse:

• loendamatu: madalaim, keskmine ja kõrgeim;
• lugematu: peaaegu arvutu, tõeliselt arvutu ja loendamatult arvutu;
• lõpmatu: peaaegu lõpmatu, tõeliselt lõpmatu ja lõputult lõpmatu.

Selles töös eristatakse kahte lõpmatu arvu põhitüüpi. Nii füüsilistel kui ka ontoloogilistel alustel tehti vahet rangelt piiritletud lõpmatusega asamkhyata 'lugematu ja arvutu' ja vabalt piiritletud lõpmatusega ananta 'lõpmatu ja piiramatu' vahel.

17. sajand

Euroopa matemaatikud hakkasid süstemaatiliselt kasutama lõpmatuid arve ja väljendeid 1655. aastal.

Matemaatika

Hermann Weyl ütles 1930. aastal tehtud matemaatikafilosoofilises pöördumises, et matemaatika on lõpmatuse teadus.

Lõpmatuse sümbol

 Pikemalt artiklis Lõpmatuse märk

Lõpmatuse sümbol kujutab lõpmatuse ideed. Sümboli võttis kasutusele John Wallis 1655. aastal ja sellest ajast alates kasutatakse seda ka väljaspool matemaatikat.

Jada piirväärtuse arvutamine

Jada {aₓ} piirväärtuse jaoks on kolm võimalust:

1. piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, st limx→∞ aₓ = a;
2. piirväärtus eksisteerib, kui on lõpmatu, st limx→∞ aₓ = ∞ või limx→∞ aₓ = – ∞;
3. piirväärtust ei eksisteeri, ei lõplikku ega lõpmatut, st limx→∞ aₓ = 0.

Määramatus on see, kui tekivad järgmised olukorrad:

1. ∞ – ∞ (lõpmatus miinus lõpmatus);
2. 0 / 0 (null jagatud nulliga);
3. ∞ / ∞ (lõpmatus jagatud lõpmatusega);
4. 0 * ∞ (null korda lõpmatus).

Määramatusest vabanemiseks tuleb kasutada teisendusi.

Füüsika

Füüsikas kasutatakse reaalarvude ligikaudseid väärtusi pidevateks mõõtmisteks ja naturaalarve diskreetseteks mõõtmisteks (loendamine). Seetõttu eeldavad füüsikud, et ühelgi mõõdetaval kogusel ei ole lõpmatut väärtust. Arvatakse, et ühelgi kehal ei saa olla lõpmatu mass või lõpmatu energia. Olemas on lõputute asjade ettekujutused, nagu näiteks lõpmatu plane wave, kuid nende realiseerimiseks pole õigeid vahendeid.

Füüsilise lõpmatuse teoreetilised rakendused

Mugavuse huvides kasutatakse arvutustes, võrrandites ja teooriates sageli lõpmatuid seoseid või piiramatuid funktsioone ning hõlmatakse lõpmatuid koguseid. Füüsikud nõuavad siiski, et lõpptulemus oleks mõttekas. Näiteks tõlgendatakse kvantväljateoorias esinevad lõpmatused nii, et need viiksid füüsiliselt sisulise tulemuseni, mida nimetatakse renormalisatsiooniks.

Üks näide, kus teoreetilises olukorras on tulemuseks lõpmatus, on mustade aukude kirjeldamiseks kasutatav mõiste singulaarsus. Mõned üldise relatiivsusteooria võrrandite lahendused võimaldavad nullsuuruse piiratud massijaotusi ja sealhulgas ka lõpmatut tihedust. Seda nimetatakse matemaatiliseks singulaarsuseks või punktiks, kus füüsiline teooria laguneb. See ei tähenda tingimata füüsilise lõpmatuse olemasolu, aga see võib tähendada, et teooria ei suuda lihtsalt olukorda õigesti kirjeldada.

Viited

• Ühe minuti loeng: mis on lõpmatus?, Tallinna Ülikooli digitehnoloogiate instituudi matemaatika professor Mart Abel, sari "Ühe minuti loeng", ERR, 6. veebruar 2017