Maatriks

(Ümber suunatud leheküljelt Maatriksite korrutamine)
 See artikkel räägib matemaatika mõistest; muude tähenduste kohta vaata artiklit Maatriks (täpsustus).

Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. Maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu on võimalik defineerida ka tehted maatriksitega.

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada (nad moodustavad korpuse). Üldistustes lepitakse ka suurema lahknemisega arvudest: võidakse piirduda nõudmisega, et nad moodustavad ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Et osutada sellele, kust maatriksi elemendist võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse üle reaalarvude korpuseks).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Neid uurib maatriksite teooria.

Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Definitsioon Redigeeri

Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks

 

Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit.

Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Tähistus Redigeeri

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente üldjuhul väikeste ladina tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava indeksiga, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit

 

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: A=(aij). Kasutusel on ka tähistus, kus maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga, kui maatriksit ennast. Näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij.

Maatriksit, mille üks dimensioonidest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt rea- ja veeruvektoriteks. Näiteks

 

on 1 × 3 reavektor.

Maatriksit, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiks üle R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatrikseiks üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega Redigeeri

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine Redigeeri

  Pikemalt artiklis Maatriksite liitmine
  Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine
  Pikemalt artiklis Transponeeritud maatriks

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.

Tehe Definitsioon Näide
Liitmine Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elementhaaval:
(A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 ≤ im and 1 ≤ jn.

 

Skalaariga korrutamine Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:
(cA)i,j = c · Aij.
 
Transponeerimine m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade ära vahetamisel:
(AT)i,j = (A)j,i.
 

Juba tuttavad tehete omadused arvudega (või ringi elementidega) kanduvad maatriksitele üle: näiteks liitmine on kommutatiivne st A + B = B + A. Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine Redigeeri

 
Üldistatud kuju meeldetuletusega, et esimese maatriksi ridade arv peab võrduma teise maatriksi veergude arvuga
  Pikemalt artiklis Maatriksite korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

 

iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks

 

ja sarnaselt

 

Maatriksite korrutamine on:

Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul

ABBA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Pöördmaatriks Redigeeri

  Pikemalt artiklis Pöördmaatriks

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust

 

kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga  . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.

Vaata ka Redigeeri

Viited Redigeeri

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)

Välislingid Redigeeri

Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid