Järjestatud paar
Järjestatud paar koondab kaks objekti: esimese elemendi ja teise elemendi. Järjestatud paari, mille esimene element on a ja teine element b, märgitakse tavaliselt (a; b).
Kaks niisugust järjestatud paari (a1; b1) ja (a2; b2) on identsed siis ja ainult siis, kui a1 = a2 ja b1 = b2.
Järjestatud paari esimene ja teine element võetakse teineteisest sõltumatult, nii et nad võivad ka omavahel kokku langeda. Kui need kaks objekti on erinevad, siis nende järjestus on oluline: kui a≠b, siis (a; b)≠(b; a).
Järjestatud paari tõlgendatakse sageli lõpliku jadana pikkusega 2.
Otsekorrutised ja seosed muuda
Kõikide niisuguste järjestatud paaride hulka, mille esimene element on mingi hulga X element ja mille teine element on mingi hulga Y element, nimetatakse hulkade X ja Y otsekorrutiseks. Selle alamhulki nimetatakse mõnikord vastavusteks või seosteks.
Järjestatud kolmikud ja n-korteežid muuda
Järjestatud kolmikud ja n-korteežid (n termini järjestatud loendid) defineeritakse sellest definitsioonist lähtudes rekursiivselt: järjestatud kolmikut (a;b;c) võib defineerida kahe järjestatud paarina, mis on pesastatud: (a; (b; c) ).
Järjestatud paarid programmeerimises muuda
Nii tehakse ka programmeerimiskeeltes: elementide loendit saab esitada konstruktsioonina pesastatud järjestatud paaridest. Näiteks loendit (1 2 3 4 5) esitatakse kujul (1, (2, (3, (4, (5, {}))))). Programmeerimiskeel LISP kasutab selliseid loendeid andmete esitamise põhilise vahendina.
Järjestatud paarid hulgateoorias muuda
Puhtas hulgateoorias, kus on ainult hulgad, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana { {a}, {a, b} }. Propositsiooni, et x on järjestatud paari p esimene element, saab siis formuleerida nii:
- ∀Y∈p : x∈Y;
ja propositsiooni, et x on järjestatud paari p teine element, saab formuleerida nii:
- (∃Y∈p : x∈Y) ∧ (∀Y1∈p, ∀Y2 ∈p : Y1≠Y2 → (¬ (x∈Y1) ∨ ¬ (x∈Y2))).
See definitsioon kehtib ka järjestatud paari p = (x;x) = { {x}; {x,x} } = { {x}; {x} } = { {x} } korral; sel juhul on propositsioon (∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (¬(x ∈ Y1) ∨ ¬(x ∈ Y2))) triviaalselt tõene, sest kunagi pole nii, et Y1 ≠ Y2.
Ka hulgateooria tavalises Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, millesse kuulub regulaarsuse aksioom, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana {a; {a; b}}. Ilma regulaarsuse aksioomita seda teha ei saa, sest muidu saab vaadelda hulki x ja z, mille korral x = {z}, z = {x} ja x ≠ z. Sel juhul
- (x; x) = {x; {x; x}} = {x; {x}} = {x; z} = {z; x} = {z; {z}} = {z; {z; z}} = (z; z)
kuigi me tahaksime, et (x;x) ≠ (z;z).