Ava peamenüü

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul[1]

kus on nabla-operaator ja tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja järgi.

Laplace'i operaator on oma nime saanud prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Antud võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikesRedigeeri

Kahemõõtmelises ruumisRedigeeri

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

 

Polaarkoordinaatides kehtib

 

Kolmemõõtmelises ruumisRedigeeri

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

 

Silindrilistes koordinaatides:

 

Sfäärilistes koordinaatides:

 

(  tähistab sfäärilist laiust ja   sfäärilist pikkust).

Avaldise   võib asendada samaväärse avaldisega  .

N dimensioonisRedigeeri

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul  , kus  ,  , on Lapalace'i operaatoril kuju

 

kus   on Laplace'i-Beltrami operaator   dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise   võib asendada samaväärse avaldisega  

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrranditesRedigeeri

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

 

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

 

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

 

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

 

kus   on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

 

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

 

kus   on lainefunktsioon,  on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja  on potentsiaalne energia.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

VälislingidRedigeeri