Ava peamenüü
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; lausekujundi kohta vaata artiklit Ellips (lausekujund).

Ellipse PLS.svg
Saturni rõngad paistavad ellipsikujulistena.
Ellipsograaf ehk ellipsisirkel.

Ellipsiks nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille puhul iga punkti kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus, mis võrdub ellipsi läbimõõduga ehk pikema telje pikkusega.

Ellips on ovaalide hulka kuuluv kinnine kõverjoon. See on üks koonuselõikeid.

Ellipsi võrrand ristkoordinaadistikus on

.

Ellipsi mõiste ja sõna ἔλλειψις (élleipsis 'puudujääk') võttis kasutusele Apollonios Pergest. Nimetus on seotud ekstsentrilisusega .[1]

Looduses esinevad ellipsid häiritusteta Kepleri orbiitidena (ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiitidena. Ka aksonomeetrias läheb ellipseid sageli tarvis, sest ringjoon kujutub paralleelprojektsiooni korral üldjuhul ellipsiks.

Definitsioonid ja mõistedRedigeeri

 
Joonisel on näidatud järgnevas tekstis kasutatavad tähistused.

Ellipsit saab defineerida mitut moodi. Peale definitsiooni punktide kauguse kaudu saab ellipsit defineerida ka ringjoone aksonomeetrilise kujutisena või lõikejoonena vastava kaldega tasandi ning kaksikkoonuse vahel.

Ellips kui punktihulkRedigeeri

Ellipsi saab defineerida tasandi kõikide niisuguste punktide   hulgana, mille kauguste summa kahest etteantud punktist   ja   võrdub etteantud konstandiga. Punkte   ja   nimetatakse fookusteks.

 

See konstant peab olema suurem kui  .

Kui fookused langevad kokku, siis   on ringjoon. See juhtum jäetakse sageli vaikimisi välja, sest enamik ütlusi ellipsite kohta on ringjoone juhtumil triviaalsed.

Haripunktid ja teljedRedigeeri

Mõlemat fookust läbivat telge nimetatakse peateljeks ning keskpunkt   jagab selle kaheks pikemaks poolteljeks   ja  . Punkte   und   nimetatakse peaharipunktideks. Kummagi pikema pooltelje pikkust tähistatakse  :

 

Analoogselt räägitakse kõrvalharipunktidest   ja   ning kõrvalteljest, mis koosneb lühematest pooltelgedest   ja  . Lühemate pooltelgede pikkust tähistatakse  :

 

Pea- ja kõrvaltelg on omavahel risti ja lõikuvad punktis  .

Spetsiaalsed kaugusedRedigeeri

 
Ellipsi definitsioon punktihulgana: lõik ühest fookusest ellipsi ääreni ja lõik edasi teise fookuseni annavad kokku alati sama pikkuse.

Definitioonivõrrandist koos sümmeetriakaalutlustega tuleneb, et kõrvalharipunktide   ja   kaugus fookustest   ja   võrdub suurusega   definitsioonist:

 

Sümmeetriakaalutluste tõttu kehtib  


 

See tähendab, et punktihulga saab esitada konkreetsel kujul:

 .

Fookust läbiva ja peateljega risti oleva kõõlu poolpikkust   nimetatakse ellipsi poolparameetriks, mõnikord ka lihtsalt parameetriks p:

 

Ellipsi ekstsentrilisusRedigeeri

  Pikemalt artiklis Ekstsentrilisus

Ellipsi kuju saab kirjeldada arvuga, mida nimetatakse ekstsentrilisuseks. See näitab ellipsi fookuste vahelist suhtelist kaugust. See on ühest väiksem mittenegatiivne arv, mida tähistatakse tavaliselt tähega  .

Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on   ja lühema pooltelje pikkus on  , on ekstsentrilisus

 .

Fookuste kaugust keskpunktist nimetatakse lineaarseks ekstsentrilisuseks ja tähistatakse  . Lineaarse ekstsentrilisuse saab Pythagorase teoreemi järgi arvutada täisnurksest kolmnurgast  :

 

Dimensioonita suurus ekstsentrilisus

 .

Sellest järeldub:

 ;
 .

Kui  , siis   ja ellips on ringjoon.

Kui  , siis   ja ellipsit nimetatakse võrdkülgseks ellipsiks ehk ilusaima kujuga ellipsiks.

Kui   on palju suurem kui  , siis   on ligi 1 ning ellips on seega lähedane paraboolile.

Ellips kui koonuselõigeRedigeeri

Ellipsit võib vaadelda tasandi lõikena koonusega (koonuselõige), kusjuures lõikenurk tasandi ja koonuse telje vahel peab olema suurem kui pool kaksikkoonuse avanurgast.

Defineerivat omadust ("summa kaugustest kahe fikseeritud punktini...") saab Dandelini kerade abiga tõestada.

Ellips kui üks silindri lõigeRedigeeri

Ka silindri lõikamisel tasandiga tekib ellips, kui lõige pole silindri teljega risti ja lõige ei läbi silindri tasapinnalisi osi (silindri põhjasid).

Peaasend ja analüütiline definitsioonRedigeeri

Ellips, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt ja mille peatelg langeb kokku x-teljega, nimetatakse ellipsit 1. peaasendis. Niisuguse ellipsi punktide koordinaatide kohta kehtib võrrand

 .

Ellips kui ühikringjoone afiinne kujutisRedigeeri

Teine ellipsi definitsioon kasutab afiinset kujutust. Ellipsit defineeritakse ühikringjoone afiinse kujutusena.[2] Afiinsel kujutusel reaaltasandil on kuju  , kus   on regulaarne maatriks (determinant ei ole 0) ja   suvaline vektor. Kui   on maatriksi   veeruvektorid, siis kujutatakse ühikringjoon   ellipsile.  .   on keskpunkt ja   on ellipsi kaks konjugeeritud diameetrit.   ei asetse üldjuhul omavahel risti. See tähendab,   ja   ei ole üldjuhul ellipsi haripunktid. See ellipsi definitsioon annab suvalise ellipsi lihtsa parameetrilise esituse.

Et haripunktis on puutuja vastava diameetriga risti ja puutuja suund ellipsi punktis on  , saadakse haripunkti parameeter   võrrandist

 

ja seega võrrandist  .
(Kasutati valemeid  .)

Kui  , siis   ja parameetriline esitus on juba haripunktikujul.

Ellipsi neli haripunkti on  

Ellipsi parameetrilise esituse haripunktikuju on

 

Näited:

 
Ellips: teisendus haripunktikujule (näide 3)
  1.   annab ellipsi tavalise parameetrilise esituse võrrandiga  .

ErijuhudRedigeeri

Koonuselõigete kontekstis nimetatakse koonuse keskteljega risti oleva tasandi lõiget, ringjoont, ellipsi erijuhtumiks: kattuvate fookustega ellipsiks. Sellise ellipsi ekstsentrilisus on 0 ja fookuse mõiste kattub ringjoone keskpunkti mõistega.

Kui ellipsi ekstsentrilisus läheneb ühele, venib ellips aina pikemaks, säilitades siiski kinnise lapiku joone kuju. Kui koonust lõikava tasapinna nurk saab paralleelseks koonuse moodustajaga, saab kõverjoone ekstsentrilisus väärtuseks 1 ja lapik kinnine joon katkeb, muutudes u-tähe kujuliseks parabooliks, mille haarad kokku ei puutu.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (asutaja), Günter Grosche (ümbertöötaja), Eberhard Zeidler (toim). Taschenbuch der Mathematik, Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, lk 24.
  2. Vaata: C. Leopold, lk 55.

VälislingidRedigeeri

  • [1]
  • [2] (ingliskeelne lehekülg mathworld.wolfram)