Pikkus (matemaatika)

Pikkuseks nimetatakse matemaatikas lõigu, tee (joone) või kõverjoone ulatust iseloomustavat arvu.

Lõigu pikkus

Kui $A$ ja $B$ on kaks reaaltasandi ($\mathbb {R} ^{2}$) punkti koordinaatidega $A(a_{1}|a_{2})$ ja $B(b_{1}|b_{2})$, siis Pythagorase teoreemi järgi lõigu $AB$ pikkus

${\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}.$

Kolmemõõtmelises näitlikus ruumis punktide korral koordinaatidega vastavalt $A(a_{1}|a_{2}|a_{3})$ ja $B(b_{1}|b_{2}|b_{3})$

${\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.$

Selliste valemite üldistamiseks on kaks vaateviisi:

• Lõigu $AB$ pikkust tõlgendatakse vektori ${\overrightarrow {AB}}$ pikkusena ja defineeritakse vektorite pikkused. Vastavat üldistatud pikkusemõistet vektorruumi vektorite puhul nimetatakse normiks.
• Veel üldisema lähenemise puhul vaadetakse lõikude pikkuste asemel otspunktide vahelisi kaugusi. Üldisi kaugusemõisteid nimetatakse meetrikateks.

Tee (joone) pikkus

Tee on pidev kujutus $\gamma :[a,b]\to X$ lõigust topoloogilisse ruumi $X$. Et teedele saaks omistada pikkuse, peab sel ruumil siiski olema lisastruktuur. (Mõnikord nimetatakse tee pikkuseks lõigu pikkust, siis mõistetakse pikkust teisiti.) Kõige lihtsamal juhul on $X$ tasand $\mathbb {R} ^{2}$ või ruum $\mathbb {R} ^{3}$ tavalise lõikude pikkuse mõistega; üldistused on võimalikud Riemanni ruumide ja suvaliste meetriliste ruumide puhul. Tee $\gamma \,$ pikkust tähistatakse siis $L(\gamma )\,$.

Jooned tasandil ja ruumis

Joon tasandil või ruumis on antud kahe või vastavalt kolme koordinaadifunktsiooniga:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ bzw. $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ für $a\leq t\leq b$.

Tükati sileda joone pikkus on antud integraaliga üle tuletisvektori pikkuse:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$ või $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.$