Tasand
See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia) |
Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum.[1] See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.
Tasand kolmemõõtmelises ruumis
muudaKolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ3 on tasandi võrrand viidav alati kujule
kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad.
Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:
- kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga;
- tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
- kahe tasandil asuva sirgega;
Tasandi määramine punkti normaalvektori abil
muudaTasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav kujul
kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga .
Tasandi määramine kolme mittekollineaarse punktiga
muudaOlgu , ja mittekollineaarsete punktide kohavektorid.
Meetod 1
muudaTasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:
mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul
Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi
Meetod 2
muudaEt kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:
Defineerides
saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:
d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.
Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed, mistõttu D = 0.
Meetod 3
muudaTasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:
Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest , või .
Punkti kaugus tasandist
muudaOlgu antud suvaline punkt kohavektoriga ja tasand Π võrrandiga , siis punkti kaugus tasandist on
Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti abil saab kauguse esitada kujul
kus on tasandi ühiknormaalvektor.
Kahetahuline nurk tasandite vahel
muudaOlgu antud kaks tasandit ja . Tasandite vaheline kahetahuline nurk on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:
kus ja on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.
Puutujatasand
muudaOlgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga , siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis on
ehk gradiendi abil esitatuna
Hüpertasand
muuda- Pikemalt artiklis Hüpertasand
n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on
, või lihtsalt .
Vaata ka
muudaViited
muuda- ↑ Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.