Ava peamenüü
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia)

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum.[1] See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Tasand kolmemõõtmelises ruumisRedigeeri

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis3 on tasandi võrrand viidav alati kujule

 

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:

  • kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga;
  • tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
  • kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi määramine punkti normaalvektori abilRedigeeri

Tasandi võrrand on normaalvektori   abil esitatav kujul

 

kus   on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et   on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima  . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti   ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga  .

Tasandi määramine kolme mittekollineaarse punktigaRedigeeri

Olgu  ,   ja   mittekollineaarsete punktide kohavektorid.

Meetod 1Redigeeri

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

 

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

 

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

 

Meetod 2Redigeeri

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:

 

Defineerides

saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:

 

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed, mistõttu D = 0.

Meetod 3Redigeeri

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

 

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest  ,   või  .

Punkti kaugus tasandistRedigeeri

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga   ja tasand Π võrrandiga  , siis punkti   kaugus tasandist on

 

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti   abil saab kauguse esitada kujul

 

kus   on tasandi ühiknormaalvektor.

Kahetahuline nurk tasandite vahelRedigeeri

Olgu antud kaks tasandit   ja  . Tasandite vaheline kahetahuline nurk   on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

 

kus   ja   on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

PuutujatasandRedigeeri

 
Pinna   puutujatasand punktis (0.2, 0.2, f(0.2,0.2)).

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga  , siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis   on

 

ehk gradiendi abil esitatuna

 

HüpertasandRedigeeri

  Pikemalt artiklis Hüpertasand

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

 , või lihtsalt  .

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.