Transponeeritud maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse maatriksi A transponeeritud maatriksiks A^T (või A^tr, ^tA või A′) maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Maatriksi asendamist selle maatriksi transponeeritud maatriksiga nimetatakse transponeerimiseks.

Näited

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Definitsioon

m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks A^T on n×m-maatriks

$A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}$, kus $1\leq i\leq n,$ $1\leq j\leq m.$

Omadused

Olgu A ja B maatriksid ning c on skalaar, siis kehtib

1. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,$

   Transponeerimine on iseenda pöördteisendus.

2. $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }\,$
3. $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }\,$

   Koos punktiga (2) tähendab see, et transponeerimine on lineaarne operaator m×n-maatriksite ruumist n×m-maatriksite ruumi.

4. $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\,$

   Paneme tähele, et tegurite järjekord muutus vastupidiseks. Sellest võib järeldada, et ruutmaatriks A on pööratav parajasti siis, kui A^T on pööratav, kusjuures sel juhul kehtib (5). Matemaatilise induktsiooni teel saab näidata, et (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T.

5. $(A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }\,$

   pöördelemendi võtmise ja transponeerimise tehe kommuteeruvad

6. $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)\,$

   Transponeerimine maatriksi determinant ei muuda.

7. Kui on A reaalarvuliste elementidega maatriks, siis A^TA on positiivne osaliselt määratud maatriks.
8. Kui maatriksi A elemendid on korpuse elemendid, siis A ja A^T on sarnased maatriksid.
9. Veeruvektorite a ja b skalaarkorrutis avaldub kui

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$

Tõestus
1. $(A^{\mathrm {T} })_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}^{\mathrm {T} }=A_{ij}$
2. $(A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} })_{ij}=A_{ij}^{\mathrm {T} }+B_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}+B_{ji}=(A+B)_{ji}=(A+B)_{ij}^{\mathrm {T} }$
3. $(cA)_{ij}^{\mathrm {T} }=cA_{ji}=cA_{ij}^{\mathrm {T} }\,$
4. $\left(AB\right)_{ij}^{\mathrm {T} }=\left(AB\right)_{ji}=\sum _{k}A_{jk}B_{ki}=\sum _{k}B_{ki}A_{jk}=\sum _{k}B_{ik}^{\mathrm {T} }A_{kj}^{\mathrm {T} }=(B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} })_{ij}\,$

Transponeerimise kaudu defineeritavaid maatriksitüüpe

• Sümmeetrilised maatriksid : A^T = A
• Kaldsümmeetrilised maatriksid : A^T = -A
• Ortogonaalsed maatriksid : A^T = A⁻¹

Vaata ka

• Ruutmaatriks
• Skalaar
• Determinant
• Ühikmaatriks
• XOR vahetus algoritm

Välislingid

• MIT Video: Loeng maatriksite transponeerimise kohta Google'i videotes