Lineaarkujutus

(Ümber suunatud leheküljelt Lineaarne operaator)

Matemaatikas nimetatakse lineaarkujutuseks ehk lineaarseks operaatoriks vektorruumide homomorfismi. Vektorruumide endomorfismi nimetatakse vektorruumi lineaarteisenduseks.

DefinitsioonRedigeeri

Olgu K korpus ja V ning W vektorruumid üle K. Kujutust f, mis kujutab ruumi V elemendi mõnele ruumi W elemendile, nimetatakse (vektorruumide) homomorfismiks ehk lineaarkujutuseks, kui

  •  ,
  •  ,

kus cK on skalaar.

Kui ruumid V ja W ühtivad, siis nimetatakse teisendust f lineaarteisenduseks. [1]

TähistusRedigeeri

Lineaarkujutuse jaoks kasutatakse mitmesuguseid tähistusi. Seda võib tähistada väikese ladina või kreeka tähega, näiteks f, nagu tähistatakse funktsioone. Levinud on ka tähistus suure ladina tähega A, kusjuures lineaarkujutuse väärtust punktis v, tähistatakse kui Av (mitte A(v)).

Kõikide lineaarkujutuste hulka vektorruumist V (üle K) vektorruumi W (üle K) tähistatakse HomK(V,W). Vektorruumi V (üle K) lineaarteisenduste hulka tähistatakse EndK(V).

OmadusedRedigeeri

Lineaarteisenduste A ja B vahel saab defineerida liitmise

 

ja korrutamise

 .

Saab näidata, et EndK(V) on nende tehete suhtes assotsiatiivne ühikelemendiga ring.

NäitedRedigeeri

  • Näiteks m×n-järku maatriks kujutab endast lineaarset operaatorit m-mõõtmelisest vektorrruumist n-mõõtmelisse vektorruumi.

ViitedRedigeeri

  1. M. Kilp, Algebra I (1998), lk 70