Lihtharmooniline võnkumine

(Ümber suunatud leheküljelt Lihtne harmooniline liikumine)

Lihtharmooniline võnkumine (inglise keeles simple harmonic motion) on füüsikas süsteemi võnkumine, kus taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Taastav jõud mõjub siirdega vastassuunaliselt. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, on nimetatud ka sumbuvuseta vabavõnkumiseks ja sellist võnkumist järgivat objekti lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl simple harmonic oscillator).

Lihtharmooniline võnkumine. Piki püsttelge on suunatud koordinaat x
Siinusfunktsiooni (punane) ja koosinusfunktsiooni (sinine) graafikud: sin (α + 90°) = cos α

Lihtharmooniline võnkumine on lihtsaim mitmesuguste võnkumiste (ja seeläbi võnkumiste levimise ruumis ehk lainelevi) kirjeldamise aluseks olev matemaatiline mudel. Lihtharmoonilise võnkumise klassikaliseks näide on vedru küljes oleva massi liikumine juhul kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele ja sumbuvust ei arvestata. Teine tuntud näide lihtharmoonilisest võnkumisest on sumbuvuseta matemaatilise pendli võnkumine.

Lihtharmooniline võnkumise korral toimub liikumine ajas sinusoidaalselt ehk on kirjeldatav siinus- või koosinusfunktsiooniga. Sel juhul on võnkuva suuruse muutus ajas kirja pandav valemiga

,

kus on amplituud, on ringsagedus ja võnkumise algfaas. Ringsageduse asemel kasutatakse sageli ka sagedust , kusjuures . Võnkumise periood on .

Matemaatiline käsitlus

muuda

Definitsioon

muuda

Lihtharmooniline on võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline ( ) siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgmiselt:

 

kus   tähistab taastavat jõudu ja   on siiret tasakaaluasendist (miinusmärgiga rõhutatakse tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis  , seega võib definitsiooni kirjutada kujul

 ,

ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgmiselt: lihtharmooniline on iga võnkumine, milles siire ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.

Dünaamika

muuda

Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist võnkumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Kui võtta aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes, siis vastavalt Hooke'i seadusele on taastavaks jõuks   ja võrdelisuse saab kirjutada võrdusena

 

kus   on võnkuva keha mass,   on siire tasakaaluasendist ja   on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga   ja kasutades tuletise teist kirjaviisi (  teine kirjaviis on  ) saame:

 

selle diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul

 

kus konstandid   ja   määravad algtingimused, nagu algsiire   ja algkiirus  .

Lahendit saab avaldada ka kujul:

 

kus

 

Antud suurustel on võnkumiste kirjeldamiseks tuntud ja mõõdetav tähendusː   on amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist),   on ringsagedus (ehk võngete arv 2π sekundi jooksul) ja   võnkumise algfaas (seotud siirdega ajahetkel  ).

Kasutades matemaatilist analüüsist tuntud definitsioone, võime tuletiste abil siirdest leida liikumise kiiruse ja kiirenduse:

 

Seejuures esineb suurim kiirus   liikumisel läbi tasakaaluasendi. Kiiruse tuletis annab kiirenduse

 

Suurim kiirendus   esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist.

Definitsiooni järgi on lihtharmooniliselt võnkuva massi   kiirendus võrdeline tema siirdega:

 

kus  .

Kuna  , siis

 

kuna periood   siis  

Antud võrranditest on näha, et lihtharmooniline võnkumine on isokroonne, s.t periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud.

Energia

muuda

Asendades ω2 suurusega k/m, avaldub süsteemi kineetiline energia K

 

ja potentsiaalne energia

 

Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu

 
 
Vedru ja massi süsteemi võnkumine

Näited

muuda

Mass vedru otsas

muuda

Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited. Kui vedru jäikusega k külge on kinnitatud Mass m, siis selle liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus, on lihtharmooniline võnkumine. Niisuguse süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga

 

mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.

 
Lihtharmooniline võnkumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele

Ühtlane pöörlemine

muuda

Lihtharmooniliselt liigub ühtlaselt ringjooneliselt liikuva (nurkkiirenduseta pöörleva) keha punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb xy-tasandil nurkkiirusega ω pöörlemistsentrist kaugusel r, siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist r ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ω. Igal ajahetkel on punkti projektsioon x-teljele leitav vastavalt:

 

Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:

 

viimase saab ümber kirjutada:

 

ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise võnkumise definitsioonile. Kiirendus ja siire on võrdelised.

 
Matemaatilise pendli sumbuvuseta lihtharmooniline võnkumine

Matemaatiline pendel

muuda

Matemaatilise pendli sumbuvuseta võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilisele võnkumisele. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab diferentsiaalvõrrand

 

kus m on pendli mass,   on raskuskiirendus, l on pendli pikkus,   on inertsimoment,   on pendli niidi nurk vertikaalist ja  on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedase väärtusega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos sin θ θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju

 

mis teeb nurkkiirenduse   võrdeliseks nurga suurusega   ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni.

Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega l pendli võnkeperiood on arvutatav valemiga

 .

Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest   ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendli võnkeperiood on näiteks Kuul pikem kui Maal, sest raskuskiirendus on Kuul väiksem. Kuna raskuskiirenduse   väärtus on Maa eri paigus erisugune, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.

Vaata ka

muuda