Ava peamenüü

Harmooniline võnkumine

Lihtharmooniline võnkumine

Harmoonilises võnkumises või harmoonilises liikumises on klassikalise mehaanika järgi iga süsteem, millele siirdel tasakaalu asendist mõjub taastav jõud F mis on võrdeline antud siirdega x (ja võrdvastupidise suunaga):

kus k on positiivne konstant. Süsteeme, kus siire tasakaaluasendist ja samaaegne kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga () nimetatakse harmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k harmonic oscillator) [1], mõnede autorite poolt ka lineaarseks ostsillaatoriks.

Lihtharmooniline võnkumineRedigeeri

  Pikemalt artiklis Lihtharmooniline võnkumine

Kui siirdega võrdeline taastav jõud F on ainuke süsteemile mõjuv jõud, nimetatakse harmoonilist võnkumist lihtharmooniliseks võnkumiseks. Lihtharmoonilise võnkumise näiteks on massi võnkumine vedru otsas, kui sumbuvust ei arvestata ja taastav jõud allub Hooke'i seadusele. Antud juhul kirjeldab võnkuva massi liikumist harilik diferentsiaalvõrrand:

 

kus   on võnkuva keha mass,   on siire tasakaaluasendist ja   on vedru jäikus. Antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidne funktsioon kujul

 

kus   on võnkumise ringsagedus ja   on võnkumise amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist) ja   võnkumise algfaas.

Sumbuv harmooniline vabavõnkumineRedigeeri

Lihtharmoonilise mudeli alusel modelleeritud süsteem, kus mõjub ainult siirdega võrdeline taastav jõud, võngub ilma sumbuvuseta. Tihti on tarvilik modelleerida võnkumisi, mis ilma väliste jõududa mõjuta sumbuvad. Seejuures võivad summutavad jõud olla erinevad. Peamiselt käsitletakse võnkumisi takistavaid jõude, mis on:

  • kiirusest sõltumatu suurusega (näiteks juhul, kui keha võngub horisontaaselt vedru otsas tasapinnal on takistavaks jõuks kiirusest sõltumatu hõõre);
  • võrdelised kiirusega ( );
  • võrdelised kiiruse kõrgema astmega ( ).

Kiirusega võrdelise sumbuvusega harmooniline vabavõnkumineRedigeeri

Kõige laialdasemalt esineb sumbuvuse näidetes liikumise kiirusest   sõltuvaid summutavaid jõude,  . Viimase jõu alaindeks tuleneb ühest sellist sumbuvust tekitavast protsessist ehk viskoossustakistusest ja   on võrdetegur (ühik kg/s) mida nimetatakse ka mehaaniliseks takistuseks. Seega lisades lihtharmoonilisele võnkumisele lisaks sumbuvust tekitava jõu   saab diferentsiaalvõrrand kuju:

 

jagades viimase läbi massiga   ja tähistades  , saab võrrand kuju:

 

suurust   nimetatakse sumbuvuseta võnkumiste ringsageduseks ja suuruse   asemel kasutatakse mõnikord  , kus suurust   nimetatakse sumbuvusastmeks (sumbeaste, sumbedekrement). Sumbuvusaste ja mehaaniline takistus on omavahel seotud valemiga  . Eeldades, et diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul  saame asendades lahendi diferentiaalvõrrandisse

 

kuna  ei võrdu igal ajahetkel nulliga, peab sulgudes olev avaldis võrduma nulliga. Tundmatu   leidmiseks peab lahendama ruutvõrrandi, mille lahendiks on

 

Viimases võrduses on kasutatud suurust  . Lahendi saab, seega kirjutada kujul

 

millest on näha, et kasutusele võetud suurus   on eksponentsiaalne sumbuvusaeg. Suurus   on sumbuvusega võnkumise ringsagedus, mida saab leida valemiga

 
 
Alasummutatud harmooniline võnkumine, amplituud sumbub ajas eksponentsiaalselt

Tihti kasutatakse sumbuvate võnkumiste kirjeldamiseks ka dimensioonitut suurust  , mida nimetatakse hüveteguriks. Hüvetegur on eelnevate suurustega seotud vastavalt

 

Sumbuvatel harmoonilistel võnkumistel eristatakse kolme režiimi:

  • Juhul, kui   on tulemuseks ajas sumbuva amplituudiga võnkumine ja seda olukorda kutsutakse alasummutatud harmooniliseks võnkumiseks;
  • Juhul, kui   ei toimu süsteemi võnkumist ja toimub amplituudi vähenemine eksponentsiaalse sumbuvusajaga  , viimast nimetatakse ülesummutatud harmooniliseks võnkumiseks;
  • Juhul, kui   ei toimu süsteemi võnkumist ja algne häiritus sumbub vähima võimaliku ajaga  , antud režiimi nimetatakse seejuures kriitiliselt summutatud harmooniliseks võnkumiseks.

Sumbuvusega harmooniline sundvõnkumineRedigeeri

Juhul, kui lisaks sumbuvusele mõjub süsteemile ka sundiv väline ajas muutuv jõud   kirjeldab vastavat harmoonilist võnkumist diferentsiaalvõrrand kujul

 ,

jällegi jagatakse tihti võrrand läbi massiga   ja tähistades  , saab võrrand kuju

 

Samaväärsed süsteemidRedigeeri

Harmooniliste ostsillaatoritega samaväärselt käituvaid süsteeme leidub lisaks mehaanikale ka teistes füüsika valdkondades. Samaväärsus tähendab süsteeme kirjeldava difierentsiaalvõrrandi samaväärsus. Allolevas tabelis on toodud nelja harmooniliselt võnkuva süsteemi samaväärsed suurused.

Rööpliikumine Pöördliikumine Jadavõnkering RLC Rööpvõnkering RLC
Koordinaat   Nurk   Laeng   Magnetvoo ühendatus  
Kiirus   Nurkkiirus   Voolutugevus   Pinge  
Mass   Inertsimoment   Induktiivsus   Mahtuvus  
Vedru jäikus   Väände jäikus   Pöördmahtuvus   Magnetiline takistus  
Mehaaniline takistus   Pöördhõõre   Takistus   Elektrijuhtivus  
Sundiv jõud   Sundiv jõumoment   Pinge   Voolutugevus  
Vabavõnkumise omavõnkesagedus  
       
Sumbuvusaeg τ
       
Diferentsiaalvõrrand
       

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. I. Saveljev (1978). Füüsika 1. Tallinn: Valgus. Lk 175.