Helilainevõrrand

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu , osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali või siirete potentsiaali muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast [1].

Lineaarne homogeenne helilainevõrrandRedigeeri

Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust   avaldub kujul:

 

kus,

Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamineRedigeeri

Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

Akustilised suurused helirõhk ja surutavusRedigeeri

Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab häirimata osakese tihedus  ja häirimata osakese rõhk  . Helilaine keskkonnas levimisel muutub osakese rõhk ja tihedus ajas (osakese piires igal ajahetkel sama väärtusega). helilaine levimise ajal saab nende ajas muutuvate suuruste juures tähistada osakese hetkelist tihedust  ja osakesele mõjuvat hetkelist rõhku  . Helirõhk on vastavalt definitsioonile hetkelise-   ja häirimata rõhu  vahe ehk

 .

Akustiline tihedus on analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse   ja häirimata tiheduse  vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus  , mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehk

 

Olekuvõrrand akustikasRedigeeri

Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reana

 

kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste   väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuse vahel kirja panna lineaarse seose

 

kus suurust  , nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutade akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehk

 

Keskkonna pidevuse võrrandRedigeeri

Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on   ja pindala  . Osakese pinna kuju võib olla määratud vektorfunktsiooniga  , mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide   ja elementaarpindade   korrutisega  . Osakese massi juurdekasv ruumalas   võrdub osakese pinda   läbiva massi voo suurusega:

 

Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja   saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujule

 

Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada:

 

Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga  saame keskkonna pidevuse võrrandi kujul

 

Asendades hetkelise tihedused   surutavuse  definitsioonist  ja arvestades, et häirimata tihedus   muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja surutavus osakese piires peab samuti vähe muutuma saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi

 

Euleri võrrandRedigeeri

Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav tavapärasest teistsuguse kujul. Osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus on võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga   liikuma vastava kiirendusega   ehk

 

Kasutades jällegi Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutada

 

Vastavalt eeldustele võib pideva keskkonnas osakese piires lugega gradienti rõhust konstantseks ja seega

 

mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga  saame Euleri võrrandi viia kujule

 

Viimases on   materiaalne tuletis kiirusest:

 

Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu   ja   helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

 

 

 

Viimases on   osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule

 

 
Lineaarse helilainevõrrandi tuletuskäik

Lineaarne helilainevõrrandRedigeeri

Võttes divergentsi lineaarsest Euleri võrrandist saame

 

kus   on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise lineaarsest pidevuse võrrandist ja arvestame, et   on ajas vähe muutuv,

 

lineaarne olekuvõrrand lubab surutavust esitada, kui   ja kuna   on ajas vähe muutuv saame

 

kus   on helikiirus, mis on defineeritud kui

 

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Kinsler LE, Frey AR, Coppens AB, Sanders JV. (1999). Fundamentals of Acoustics, 4th Edition. Wiley-VCH. ISBN 0-471-84789-5