Helilainevõrrand

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu , osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali või siirete potentsiaali muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast [1].

Lineaarne homogeenne helilainevõrrandRedigeeri

Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust   avaldub kujul:

 

kus,

Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamineRedigeeri

Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

Akustilised suurused helirõhk ja surutavusRedigeeri

Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab häirimata osakese tihedus   ja häirimata osakese rõhk  . Osakese piires on rõhk ja tihedus igal ajahetkel sama väärtusega. Helilaine levimisel keskkonnas muutub osakese rõhk ja tihedus ajas. Helilaine levimise ajal leidub osakese piires antud osakese hetkeline tihedus   ja osakesele mõjuv hetkeline rõhk  . Seejuures on helirõhk on defineeritud hetkelise-   ja häirimata rõhu   vahe ehk

 .

Akustiline tihedus on analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse   ja häirimata tiheduse   vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus  , mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehk

 

Olekuvõrrand akustikasRedigeeri

Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed mis esinevad rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reana

 

kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste   väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuste vahel kirja panna lineaarse seose

 

kus suurust  , nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutade akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehk

 

Keskkonna pidevuse võrrandRedigeeri

Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on   ja tema pinna pindala  . Osakese pinna kuju on määratud vektorfunktsiooniga  , mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide   ja elementaarpindade   korrutisega  . Osakese massi juurdekasv ruumalas   võrdub osakese pinda   läbiva massi voo suurusega:

 

Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja   saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujule

 

Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada:

 

Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga   saame keskkonna pidevuse võrrandi kujul

 

Asendades hetkelise tihedused   surutavusega   vastavalt tema definitsioonile   ja arvestades, et häirimata tihedus   muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja eeldusest tuleneva surutavuse   vähese muutumisega osakese piires saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi

 

Euleri võrrandRedigeeri

Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav laialt levinust teistsugusel kujul. Pidevas keskkonnas on osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga   liikuma vastavalt kiirendusega   ehk

 

Kasutades jälle Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutada

 

Vastavalt eeldustele võib pidevas keskkonnas osakese piires gradienti rõhust lugeda konstantseks ja seega

 

mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga   saame Euleri võrrandi viia kujule

 

Viimases on   materiaalne tuletis kiirusest:

 

Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu   ja   helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

 

 

 

Viimases on   osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule

 

 
Lineaarse helilainevõrrandi tuletuskäik

Lineaarne helilainevõrrandRedigeeri

Võttes divergentsi lineaarsest Euleri võrrandist saame

 

kus   on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise lineaarsest pidevuse võrrandist ja arvestame, et   on ajas vähe muutuv,

 

lineaarne olekuvõrrand lubab surutavust esitada, kui   ja kuna   on ajas vähe muutuv saame

 

kus   on helikiirus, mis on defineeritud kui

 

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Kinsler LE, Frey AR, Coppens AB, Sanders JV. (1999). Fundamentals of Acoustics, 4th Edition. Wiley-VCH. ISBN 0-471-84789-5