Ühisosa

Matemaatikas on hulkade A ja B ühisosa ehk lõige ehk korrutis hulk, mis koosneb kõikidest hulkade A ja B ühistest elementidest.

Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse A∩B.

Hulkade ühisosa leidmine moodustab mis tahes hulkade hulgal binaarse tehte, mingi hulga alamhulkade hulgal binaarse algebralise tehte.

Definitsioon

Hulkade A ja B ühisosa A ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.

Sümbolite abil väljendudes,

A\cap B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\in B\}

,

kus $\wedge$ tähistab konjunktsiooni.

Näited

Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}.
Arv 9 ei ole algarvude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja paaritute naturaalarvude hulga

{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

Omadused

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:

assotsiatiivsus

A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C

kommutatiivsus

A\cap B=B\cap A

idempotentsus

A\cap A=A

Hulkade kogumi ühisosa

Üldiselt saab rääkida mittetühja hulkade kogumi

M=\{A_{i}|i\in I\}

ühisosast

\bigcap M\equiv \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}

,

kus I tähistab mõnd indeksihulka. Teisisõnu on hulga $\cap$ $M$ elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka $A_{i}$ .

Nullaarne lõige

Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui $M$ on tühi hulk^[viide?].

Sulgudes olevate argumentide konjunktsioonid.

Mitte ühegi argumendi konjunktsioon on tautoloogia (võrdle tühja korrutisega); vastavalt on mitte ühegi hulga lõige universum

Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus M on tühi hulk ∅. Kogumi M lõige on defineeritud kui

\bigcap \mathbf {M} =\{x:\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\}.

Kui M on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga M element, nii et jääb küsimus, millised muutuja x väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui M on tühi, siis see tingimus on tühi tõde. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema universaalhulk (lõike leidmise tehte universaalhulk), mida hulgateoorias ZFC ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga U (universum) alamhulkadega. Sel juhul võib hulga U alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:

\bigcap \mathbf {M} =\{x\in U:\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\}.

Kui nüüd M on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum U, mis on lõike leidmise tehte ühikelement.

Ühisosata hulgad

Pikemalt artiklis Ühisosata hulgad

Kui $\cap$ $M$ on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga M elemendid on ühisosata hulgad. Kui A∩B on tühi hulk, siis A ja B on ühisosata hulgad.