Ava peamenüü
Venni diagramm: hulkade A ja B ühisosa A ∩ B on märgistatud tumedamalt

Matemaatikas on hulkade A ja B ühisosa ehk lõige ehk korrutis hulk, mis koosneb kõikidest hulkade A ja B ühistest elementidest.

Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse AB.

Hulkade ühisosa leidmine moodustab mis tahes hulkade hulgal binaarse tehte, mingi hulga alamhulkade hulgal binaarse algebralise tehte.

Sisukord

DefinitsioonRedigeeri

Hulkade A ja B ühisosa A  ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.

Sümbolite abil väljendudes,

 ,

kus   tähistab konjunktsiooni.

NäitedRedigeeri

{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

OmadusedRedigeeri

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:

 
 
 

Hulkade kogumi ühisosaRedigeeri

Üldiselt saab rääkida mittetühja hulkade kogumi

 

ühisosast

 ,

kus I tähistab mõnd indeksihulka. Teisisõnu on hulga     elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka  .

Nullaarne lõigeRedigeeri

Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui   on tühi hulk[viide?].

 
Sulgudes olevate argumentide konjunktsioonid.

Mitte ühegi argumendi konjunktsioon on tautoloogia (võrdle tühja korrutisega); vastavalt on mitte ühegi hulga lõige universum

Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus M on tühi hulk ∅. Kogumi M lõige on defineeritud kui

 

Kui M on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga M element, nii et jääb küsimus, millised muutuja x väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui M on tühi, siis see tingimus on tühi tõde. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema universaalhulk (lõike leidmise tehte universaalhulk), mida hulgateoorias ZFC ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga U (universum) alamhulkadega. Sel juhul võib hulga U alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:

 

Kui nüüd M on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum U, mis on lõike leidmise tehte ühikelement.

Ühisosata hulgadRedigeeri

  Pikemalt artiklis Ühisosata hulgad

Kui     on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga M elemendid on ühisosata hulgad. Kui AB on tühi hulk, siis A ja B on ühisosata hulgad.

Vaata kaRedigeeri