Sümmeetriline vahe

Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks hulka $A\Delta B$, kuhu kuuluvad kõik hulkade A ja B elemendid, mis ei kuulu korraga hulkadesse A ja B.

Definitsioon

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A),\,$

kus \ tähistab hulkade vahet ja ∪ hulkade ühendit.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4, 5} ja {4, 5, 6, 7} sümmeetriline vahe on {1, 2, 3, 6, 7}.

Omadused

Hulkade sümmeetrilise vahe leidmisel on järgmised omadused:

• Seos vahe, ühendi ja ühisosaga.

$A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),\,$,

• Kommutatiivsus

$A\Delta B=B\Delta A,\,$,

• Assotsiatiivsus

$(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C),\,$,

• Seos tühihulgaga

$A\Delta \varnothing =A,\,$,

$A\Delta A=\varnothing ,\,$,

• Distributiivsus hulkade ühisosaga

$A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C).$,