Vahe (hulgateooria)

Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B vaheks hulka, mille elementideks on need hulga A elemendid, mis ei ole hulga B elemendid. Teiste sõnadega, x on hulkade A ja B vahe element siis ja ainult siis, kui x on A element, kuid ei ole B element.

Hulkade A ja B vahet tähistatakse tavaliselt A\B.

Definitsioon

$A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.$,

kus $\wedge$ tähistab konjunktsiooni.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4} ja {3, 4} vahe on {1, 2}.

Omadused

Hulkade vahe tehtel on järgmised omadused:

$A\cup (B\setminus A)=A\cup B$,

$A\setminus (A\cap B)=A\setminus B$,

$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$,

$A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$,

kus ∩ tähistab ühisosa ja ∪ ühendit.

Täiend

Hulkade vahe abil defineeritakse hulga täiend. Hulga A täiendiks universaalse hulga U suhtes nimetatakse hulka U \ A ja tähistatakse $A^{c}$ või ${\overline {A}}$.