Binaarne algebraline tehe

Binaarne algebraline tehe ehk binaarne algebraline operatsioon ehk kompositsiooniseadus hulgal S on binaarne algebraline tehe hulgal S ehk teiste sõnadega kahe muutuja funktsioon S-ilt ja S-ilt S-isse ehk teiste sõnadega funktsioon f otsekorrutiselt S×S hulka S.

Sageli nimetatakse binaarset algebralist tehet lihtsalt binaarseks tehteks ehk binaarseks operatsiooniks. Ent eriti informaatikas kasutatakse neid termineid mõnikord laiemas mõttes, lubades funktsiooni väärtustena ka elemente, mis ei kuulu hulka S. Sel juhul esitatakse tingimus, et funktsiooni väärtused kuuluvad samasse hulka, kuhu argumendidki, kinnisuse omadusena. Nii on binaarne algebraline tehe sama mis binaarne kinnine tehe.

Binaarsed tehted üldalgebras

Binaarsetel algebralistel tehetel on väga tähtis koht üldalgebras: nad esinevad rühmades, monoidides, poolrühmades ja mujal. Ühe binaarse tehtega hulga üldnimetus on "rühmoid".

Tähistused

Tavaliselt kasutatakse tehte üleskirjutamisel samu vahendeid nagu arvude korrutamise puhul (multiplikatiivne tähistusviis) ning tehte tulemit nimetatakse korrutiseks. Elementide x ja y korrutis on xy või ka x · y.

Mõnikord kasutatakse ka aditiivset tähistusviisi: tehte tulem närgitakse üles kujul x+y ning seda nimetatakse x ja y summaks. Tavaliselt kasutatakse aditiivset tähistusviisi ainult juhtudel, kui tehe on kommutatiivne.

Peale infiksnotatsiooni kasutatakse ka funktsionaalset notatsiooni f(x,y) ning prefiksnotatsiooni ja postfiksnotatsiooni. Poola notatsioon on üks prefiksnotatsioon, mis saab läbi ilma sulgudeta. Praegu on rohkem kasutusel Poola notatsiooni postfiksversioon ümberpööratud Poola notatsioon.

Binaarsete tehete eriomadused ja näited

Paljud huvipakkuvad binaarsed tehted on kommutatiivsed või assotsiatiivsed. Paljudel on ka ühikelemendid ja pöördelemendid.

Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks, kui mis tahes x, y ja z korral f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z).

Binaarset tehet nimetatakse kommutatiivseks, kui mis tahes x ja y korral f(x, y) = f(y, x).

Näiteks täisarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivne ja kommutatiivne.

Binaarset tehet nimetatakse alternatiivseks, kui mis tahes x ja y korral f(x, f(x, y)) = f(f(x, x), y) ja f(f(x, y), y) = f(x, f(y, y)). See tingimus on nõrgem kui assotsiatiivsus.

Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks astmetel, kui mis tahes x korral f(x, f(x, x)) = f(f(x, x), x). See tingimus on nõrgem kui alternatiivsus.

Binaarsete tehete tüüpilisteks näideteks on liitmine naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude, kompleksarvude ja maatriksite liitmine (+) ja korrutamine (×) ning funktsioonide kompositsioon (liitfunktsioonide moodustamine) mingil hulgal. Olgu meil on hulk S ja kaks funktsiooni r : S → S ja s : S → S. Siis kompositsioon r ^o s : S → S on funktsioon, mis on määratud nii: ( r ^o s ) (x) = r ( s (x)) mis tahes x $\in$ S korral. Nõnda on defineeritud assotsiatiivne binaarne tehe ^o hulgal S.

Mittekommutatiivsed tehted on näiteks lahutamine (–), jagamine (/) ja astendamine (^).

Jagamine ei ole binaarne tehe ei naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude ega kompleksarvude hulgal, sest nulliga jagamine ei ole defineeritud. Naturaalarvude ja täisarvude hulgal on teisigi raskusi: näiteks 1 ja 3 jagatis ei ole defineeritud, sest 1/3 ei ole naturaal- ega täisarv.

Eriomadustega elemendid

• $e$ on binaarse tehte vasakpoolne ühikelement, kui $\forall x\in S,f(e,x)=x$;
• $e$ on binaarse tehte parempoolne ühikelement, kui $\forall x\in S,f(x,e)=x$;
• $e$ on binaarse tehte ühikelement, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne ühikelement;
• $e$ on binaarse tehte vasakpoolne nullelement, kui $\forall x\in S,f(e,x)=e$;
• $e$ on binaarse tehte parempoolne nullelement, kui $\forall x\in E,f(x,e)=e$;
• $e$ on binaarse tehte nullelement, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne nullelement;
• $e$ on binaarse tehte vasakpoolne regulaarne element, kui kujutus $x\mapsto f(e,x)$ on injektiivne;
• $e$ on binaarse tehte parempoolne regulaarne element, kui kujutus $x\mapsto f(x,e)$ on injektiivne;
• $e$ on binaarse tehte regulaarne element, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne regulaarne element.

Näiteks täisarvude hulgal on 0 liitmise ühikelement, korrutamise nullelement ja lahutamise parempoolne ühikelement.

Pööratavus

Kui binaarsel tehtel on ühikelement (olgu see $e$), siis saab defineerida järgmised mõisted:

• $x\in S$ on vasakult pööratav element, kui eksisteerib niisugune element $x'\in S$ (vasakpoolne pöördelement, mis osutub ainsaks), et $f(x',x)=e$;
• $x\in S$ on paremalt pööratav element, kui eksisteerib niisugune element $x'\in S$ (parempoolne pöördelement, mis osutub ainsaks), et $f(x,x')=e$;
• vasakult ja paremalt pööratavat elementi nimetatakse pööratavaks; ning tema vasakpoolne pöördelement ja parempoolne pöördelement on võrdsed, nii et tal on üks ja ainus pöördelement.

Näited:

• 2 ei ole naturaalarvude liitmise pööratav element;
• 2 on täisarvude liitmise pööratav element ja tema pöördelement on –2;
• 2 ei ole täisarvude korrutamise pööratav element;
• 2 on ratsionaalarvude korrutamise pööratav element ja tema pöördelement on 1/2.