Rühmoid

Disambig gray.svg  See artikkel räägib ühe binaarse algebralise tehtega hulgast; kategooriateooria mõiste kohta vaata artiklit Rühmoid (kategooria)

Rühmoid ehk grupoid on üldalgebras hulk M[1] (rühmoidi kandja) koos sellel defineeritud üheainsa binaarse algebralise tehtega[2] M × MM. Tehte tulemid kuuluvad definitsiooni põhjal hulka M. Mingeid muid tingimusi tehtele ei esitata.

Tegemist on ühega kõige lihtsamini defineeritud universaalalgebrate klassidest.

Nimetuse groupoid võttis kasutusele Øystein Ore. Nicolas Bourbaki eeskujul ("Éléments de mathématique", köide "Algèbre") on rühmoide hakatud nimetama magmadeks. Veel on neid nimetatud operatiivideks ja binaarideks.

Rühmoidide klassidRedigeeri

Tavaliselt rühmoide üldisel kujul ei uurita, vaid lisatakse tehte omadusi täpsustavaid aksioome.

Sagedamini vaadeldavad rühmoidide klassid on:

Saab vaadelda ka kommutatiivseid poolrühmi ja kommutatiivseid monoide.

NäitedRedigeeri

MittenäitedRedigeeri

Mitmekordsed tehted ja suludRedigeeri

Rühmoidi tehet võib sooritada mitu korda järjest. Et tehe ei ole üldjuhul assotsiatiivne, kasutatakse tehete sooritamise järjekorra näitamiseks sulgusid. Saadakse sõne, mis koosneb rühmoidi elemente tähistavatest sümbolitest ja tasakaalustavatest sulgudest. Kõikvõimalike tasakaalustavate sulgude sõnede hulka nimetatakse Dycki keel. Rühmoidi tehte n sooritamise järjekordade arv võrdub Catalani arvuga  . Näiteks  . Teiste sõnadega,   on   ainsad rühmoidi tehte kahe sooritamise järjekorrad kolme elemendiga.

Tähistuse lihtsustamiseks ja sulgude arvu vähendamiseks kasutatakse lisakokkuleppeid. Tehte sooritamise eelisjärjekorra märkimiseks kasutatakse tehtemärgi ärajätmist. Näiteks kui rühmoidi tehe on *, siis saab avaldise (x * y) * z panna kirja lühemal kujul. Lühendamiseks saab kasutada ka tühikuid. Näiteks avaldise ((x * y) * z) * (w * v) saab kirja panna kujul xy*z * wv. Keerukamate avaldiste puhul muidugi sulgudeta läbi ei saa. Sulgude alternatiiviks on küll näiteks prefikstähistus, kuid see on raskesti jälgitav.

Rühmoidide homomorfismidRedigeeri

  Pikemalt artiklis Rühmoidide homomorfism

Rühmoidide homomorfism ehk rühmoidide morfism on kujutus   rühmoidist   rühmoidi  , mis säilitab rühmoidi tehte:

 ,

kus   on   vastavalt rühmoidi   ja rühmoidi   tehe.


Vaba rühmoidRedigeeri

  Pikemalt artiklis Vaba rühmoid

Vaba rühmoidi mittetühjal hulgal   moodustavad formaalsed avaldised, mis on saadud hulga   elementide sümbolitest, millele on rakendatud rühmoidi tehet koos sulgudega. Olgu näiteks   Siis sisaldab vaba poolrühm üle   muu hulgas elemente

  mis on kõik omavahel erinevad.

Formaalselt võib vaba poolrühma üle mittetühja hulga   defineerida kui hulga, millesse kuuluvad kõik lõplikud binaarpuud koos iga lehe juurde kirjutatud hulga   elemendiga. Kahe puu   ja   korrutis   on puu, mille juurel on vasakpoolne alampuu   ja parempoolne alampuu  .

ÜldistusRedigeeri

Pseudorühmoid on hulk koos sellel defineeritud üheainsa osalise binaarse algebralise tehtega.

MärkusedRedigeeri

  1. M võib olla ka tühihulk. Sel juhul on tegu triviaalse rühmoidiga, mille tehe on tühi tehe.
  2. Teiste sõnadega, hulk on selle tehte suhtes kinnine.

KirjandusRedigeeri

  • A. A. Albert. Studies in Modern Algebra, Washington 1963.
  • Georges Papy. Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.
  • N. Bourbaki. Algèbre, 1970, ptk 1–3.
  • А. Г. Курош. бщая алгебра, М.: Мир 1973.
  • П. Кон. Универсальная алгебра, М.: Мир 1969.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979.
  • Lothar Gerritzen. Grundbegriffe der Algebra, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-06519-2.
  • Th. Ihringer. Allgemeine Algebra, Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.

VälislingidRedigeeri