Poolrühm
Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.
Tehe
muudaPoolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide ja korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:
(või lihtsalt ).[1]
Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile .[1]
Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine.[2] Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt , , , jms.
Assotsiatiivsus
muudaAssotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust
,
kus ja on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.[1]
Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide ning indeksite ja ( ) kehtib järgmine võrdus:
.[2]
Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks ja . Siis
.[1]
Korrutamine
muudaOlgu poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi astmed järgmiselt:
.[2]
Liitmine
muudaOlgu poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi kordsed järgmiselt:
.[2]
Elemendid
muudaPoolrühma suvalist elementi nimetatakse idempotendiks, kui .[2]
Eri tüüpi poolrühmi
muudaKommutatiivne poolrühm
muudaKui poolrühma suvaliste elementide ja korral kehtib võrdus , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.[1]
Vaba poolrühm
muudaPoolrühma elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.[2]
Näide 1.
Jadade ning elementide korral:
.
Näide 2.
Olgu . Siis .
Seega või liitmistehte korral: .
Seos teiste struktuuridega
muudaPoolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.[2]
Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.[2]
Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.[2]
Näited
muudaPoolrühm on:
- naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
- naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
- naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
- naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
- täisarvude hulk korrutamise suhtes,
- täisarvude hulk liitmise suhtes,
- ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
- ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
- reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
- reaalarvude hulk liitmise suhtes,
- vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
- vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st ).
Poolrühm ei ole:
- täisarvude hulk lahutamise suhtes,
- vektorruum vektorite korrutamise suhtes.