Poolrühm

Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

TeheRedigeeri

Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide   ja   korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

  (või lihtsalt  ).[1]

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile  .[1]

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine.[2] Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt  ,  ,  ,   jms.

AssotsiatiivsusRedigeeri

Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust

 ,

kus   ja   on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.[1]

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide  ning indeksite   ja   ( ) kehtib järgmine võrdus:

 .[2]

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks   ja  . Siis

 .[1]

KorrutamineRedigeeri

Olgu   poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi   astmed järgmiselt:

 .[2]

LiitmineRedigeeri

Olgu   poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi   kordsed järgmiselt:

 .[2]

ElemendidRedigeeri

Poolrühma suvalist elementi   nimetatakse idempotendiks, kui  .[2]

Eri tüüpi poolrühmiRedigeeri

Kommutatiivne poolrühmRedigeeri

Kui poolrühma suvaliste elementide   ja   korral kehtib võrdus  , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.[1]

Vaba poolrühmRedigeeri

Poolrühma   elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus  ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.[2]

Näide 1.

Jadade   ning elementide   korral:

 .

Näide 2.

Olgu  . Siis  .

Seega  või liitmistehte korral:  .

Seos teiste struktuuridegaRedigeeri

Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.[2]

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.[2]

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.[2]

NäitedRedigeeri

Poolrühm on:

Poolrühm ei ole:

  • täisarvude hulk lahutamise suhtes,
  • vektorruum vektorite korrutamise suhtes.

ViitedRedigeeri

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 J. M. Howie (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Oxford University Print Inc. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 M. Kilp (2005). Algebra I. Tartu: Eesti Matemaatika Selts.