Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

Elektromagnentvälja tensor

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,,$

kus

${\boldsymbol {E}}\,$ on elektrivälja tugevus,

${\boldsymbol {B}}\,$ on magnetiline induktsioon ja

$c\,$ on valguse kiirus.

Voolu neli-vektor

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

$J^{\alpha }=\,(c\rho ,{\boldsymbol {J}})\,$

kus $\rho \,$ on laengutihedus, ${\boldsymbol {J}}\,$ on voolutihedus, ja $c\,$ on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektor

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist $\phi \,$ ja magnetvälja vektorpotentsiaalist ${\boldsymbol {A}}\,$ moodustatud neli-vektor

$A_{\alpha }=\left(\phi /c,-{\boldsymbol {A}}\right)\,$.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,$

kus

$\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)\,.$

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

$T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\,,$

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

${\boldsymbol {\rm {S}}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\rm {E}}}\times {\boldsymbol {\rm {B}}}\,,$

elektromagnetvälja energiatiheduse

${\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\,,$

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

$\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\delta _{ij}\,,$

kus $\epsilon _{0}\,$ on elektriline konstant, $\mu _{0}\,$ on magnetiline konstant ja $\eta \,$ on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

$c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,.$

Maxwelli võrrandid

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

${\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }\qquad {\hbox{ja}}\qquad 0=\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}$,

kus $F^{\alpha \beta }\,$ on elektromagnetvälja tensor, $J^{\alpha }\,$ on neli-vool, $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,$ on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõud

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

${\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }$

kus $p_{\alpha }\,$ on punktosakese neli-impulss, $q\,$ on selle elektrilaeng, $u^{\beta }\,$ on neli-kiirus ja $\tau \,$ on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrand

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on

${J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.$

Vaata ka

• Elektromagnetvälja tensor
• Liénardi–Wiecherti potentsiaal
• Kvantelektrodünaamika