Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektidRedigeeri

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

Elektromagnentvälja tensorRedigeeri

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

 

kus

  on elektrivälja tugevus,
  on magnetiline induktsioon ja
  on valguse kiirus.

Voolu neli-vektorRedigeeri

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

 

kus   on laengutihedus,   on voolutihedus, ja   on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektorRedigeeri

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist   ja magnetvälja vektorpotentsiaalist   moodustatud neli-vektor

 .

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

 

kus

 

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensorRedigeeri

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

 

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

 

elektromagnetvälja energiatiheduse

 

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

 

kus   on elektriline konstant,   on magnetiline konstant ja   on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

 

Maxwelli võrrandidRedigeeri

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

 ,

kus   on elektromagnetvälja tensor,   on neli-vool,   on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõudRedigeeri

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

 

kus   on punktosakese neli-impulss,   on selle elektrilaeng,   on neli-kiirus ja   on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrandRedigeeri

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on

 

Vaata kaRedigeeri