Laplace teisendus
Laplace'i teisendus on funktsiooni integraalteisendus, mis teisendab ajadomeeni funktsiooni , kus muutuja Laplace'i sagedusdomeeni funktsiooniks , kus s on kompleksarv , on reaalosa ning imaginaarosa. [1] Kõnealune teisendus on nimetatud Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782.[2]
Laplace'i teisendus on tööriist, mida kasutatakse palju inseneriteaduses. Dünaamilist juhtimissüsteemi, olgu see siis elektriline, mehaaniline, termiline, hüdrauliline jne, saab esitada diferentsiaalvõrrand<iga. Süsteemi diferentsiaalvõrrand tuletatakse süsteemi reguleerivate füüsikaliste seaduste järgi. Süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi lahendamise hõlbustamiseks teisendatakse võrrand algebralisele kujule. See teisendus tehakse Laplace'i teisendustehnika abil. [3] Laplace'i pöördteisenduse abil saab teisendada sagedusdomeeni funktsiooni tagasi ajadomeeni funktsiooniks. [4] Laplace'i teisendust kasutatakse palju juhtimissüsteemides ja robootikas, samuti signaalitöötluses ja elektroonikas.
Definitsioon
muudaTeisendust kujul
mis seab funktsioonile vastavusse funktsiooni , nimetatakse funktsiooni Laplace’i teisenduseks.
Kui eksisteerib lõplik piirväärtus
- ,
siis integraal
koondub ja funktsioonil on olemas Laplace'i teisendus, vastasel juhul integraal hajub ja funktsioonil ei ole Laplace'i teisendust.[5]
Oluline on tähele panna, et Laplace'i teisendus on defineeritud ainult korral. [6]
Tingimused
muudaLaplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni nimetatakse originaaliks, kui see rahuldab järgmisi tingimusi:
1. Funktsioon on tükiti pidev lõigus [ ], kui leidub lõplik jaotus osalõikudeks punktidega , nii, et igas vahemikus ( ) on funktsioon pidev ja punktid , , on funktsiooni katkevuspunktideks. Funktsioon on tükiti pidev poollõigus [ ), kui ta on iga korral tükiti pidev lõigus [ ].
2. Funktsioon on eksponentsiaalse kasvuga poollõigus [ ), kui leiduvad konstandid ja nii, et iga korral
Omadused
muudaAllpool on välja toodud mõned Laplace'i teisenduse omadused. [7]
Olgu meil funktsioonid ja , millel leiduvad vastavad Laplace'i teisendused ja . Teisendustele rakenduvad järgmised omadused:
1. Lineaarsus.
- ;
2. Diferentseerimine.
3. Integreerimine.
4. Korrutamine.
5. Konvolutsioon.
Põhifunktsioonide teisendus
muudaJärgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi. [8]
Funktsioon | Laplace'i teisendus |
---|---|
, | |
Viited
muuda- ↑ Thibault, Kim. "Laplace Transform: A First Introduction". mathvault.ca. Vaadatud 17. aprill 2022.
- ↑ Jõgi, Aksel (2003). Integraalteisendused. Tallinn: TTÜ kirjastus. Lk lk 319−331.
- ↑ "Laplace Transform Table, Formula, Examples & Properties". Vaadatud 18. aprill 2022.
- ↑ 4,0 4,1 "Inverse Laplace Transforms". Vaadatud 18. aprill 2022.
- ↑ 5,0 5,1 Laanemaa, Anna Marita. "Laplace'i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel". Vaadatud 17. aprill 2022.
- ↑ Anderson, Tim. "Laplace Transforms". Vaadatud 29. mai 2022.
- ↑ "Laplace Transforms Properties". Vaadatud 18. aprill 2022.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com. Vaadatud 18. aprill 2022.