Laplace'i pöördteisendus

Laplace'i pöördteisendus on integraalteisendus, mis teisendab kompleksmuutuja funktsiooni $F(s)$ , kus kompleksarv $s=\sigma +j\omega$ (kompleks sagedusdomeen ehk s-domeen), tagasi reaalmuutuja funktsiooniks $f(t)$ , kus $t\in [0;\infty ]$ (ajadomeen). Kuna Laplace teisendus on üheselt määratav teisendus, siis on võimalik näidata, et selle pöördteisendus on samuti üheselt määratav:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\Longleftrightarrow {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$

Bromwichi integraal muuda

Laplace'i pöördteisenduse leidmiseks on mitmeid võimalusi, kus igaühel on omad eelised, aga kõige laialdasema rakendusega on Bromwichi integral (Mellini inverteeritud integral või Fourier-Mellini integral), mis tuletatakse Fourier' teisenduse juba teadaoleva pöördseose vaatlemisel^[1]:

Kujutlus Bromwichi integraalist - Punaste ristidega on tähistatud poolused, telgedel on toodud viimaste reaalarvulised osad ning nooltega on näidatud integreeritav joon.

${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\omega }^{\sigma +i\omega }e^{st}F(s)\,ds,$

kus ${\mathcal {L}}^{-1}$ tähistab Laplace'i pöördteisendust ja integreerimine toimub vertikaalsel joonel ${\mathfrak {R}}(s)=\sigma$ komplekstasandil selliselt, et $\sigma$ väärtus oleks suurem (ehk vasakul) kõikidest $F(s)$ pooluste reaalarvulisest osadest.

Praktikas on Laplace'i pöördteisenduse tegemine tüüpiliselt mugavam, kui esmane $F(s)$ funktsioon teha osadeks vastavalt tabelitest leitavatele esitusvormidele ning pöördteisendus kirjutada lihtsalt ümber tabeli vastete järgi (lookup table).

Omadused^[1] muuda

Olgu meil funktsioonid $G(s)$ ja $P(s)$ , millel leiduvad vastavad Laplace'i pöördteisendused $g(t)$ ja $p(t)$ . Teisenduse

1. Aditiivsus (summa või vahe)

${\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\pm P(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\pm {\mathcal {L}}^{-1}\{P(s)\}$

Laplace'i pöördteisendus kahe funktsiooni summast on võrdne nende üksikute funktsioonide Laplace'i pöördteisenduste summaga.

2. Homogeensus (konstandiga korrutamine)

${\mathcal {L}}^{-1}\{a\cdot G(s)\}=a\cdot {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},$

kus $a$ on konstant.

3. Esimene teoreem sageduse nihutamise kohta

${\mathcal {L}}^{-1}\{G(s-a)\}=e^{at}G(t)$

4. Teine teoreem sageduse nihutamise kohta

${\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-sT}G(s)\}=G(t-T)\cdot u(t-T),$

kus $u(t)$ on ühikastme funktsioon.

Kui Laplace' pöördteisenduses esineb $e^{-sT}$ komponent, siis on see võimalik teisenduse lõpus asendada astmefunktsiooniga. Nimelt tehes Laplace' pöördteisenduse selliselt, et ignoreerides $e^{-sT}$ komponenti ja lõpptulemuses $t$ asendada $(t-T)$ ning juurde lisada korrutiseks ühiksastme funktsioon, saamegi korrektse Laplace' pöördteisenduse kogu funktsiooni kohta.