Poolus (kompleksmuutuja funktsiooniteooria)

Isoleeritud iseärast punkti $z_{0}$ nimetatakse funktsiooni $f(z)$ pooluseks, kui selle funktsiooni arenduses Laurenti ritta punkti $z_{0}$ punkteeritud ümbruses sisaldab negatiivne osa lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, st

Gammafunktsiooni $\Gamma (z)$ moodul. Vasakul (Re z<0) on funktsioonil poolused, nendes ta läheneb lõpmatusele. Paremal (Re z>0) pooluseid ei ole, funktsioon on kõikjal lõplik

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$, kus $P(z)$ on positiivne osa.

Kui $f_{-n}\neq \ 0$, siis $z_{0}$ nimetatakse $n$-järku pooluseks. Kui $n=1$, siis poolust nimetatakse lihtsaks.

Pooluse määramise kriteeriumid

1. Punkti $z_{0}$ on poolus siis ja ainult siis, kui $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$.
2. Punkti $z_{0}$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$, а $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$.
3. Punkt $z_{0}$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui ta on funktsiooni $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ $k$-järku nullkoht.

Vaata ka

• Kõrvaldatav iseärane punkt
• Oluliselt iseärane punkt