Analüütiline mehaanika

Analüütiline mehaanika on teoreetilise mehaanika haru, mis käsitleb tema alternatiivseid formuleeringuid, näiteks Lagrange'i ja Hamiltoni mehaanikat. Kui Newtoni mehaanikas määratakse süsteemi käitumine vektoriaalsete suurustega, siis analüütilise mehaanika formalismides sisaldub kogu info süsteemi kohta skalaarsetes suurustes, milleks on tavaliselt süsteemi kineetiline energia ja potentsiaalne energia.

Süsteemi kirjeldamiseks kasutatakse analüütilises mehaanikas üldistatud koordinaate, mis on omavoliliselt valitavad sõltumatud koordinaadid, mille väärtustega on süsteemi paiknemine ruumis üheselt määratud. Avaldades potentsiaalse energia ja kineetilise energia üldistatud koordinaatide (ja impulsside) kaudu, saab valitud formalismis kergesti panna kirja liikumisvõrrandid, seega on mehaaniliste probleemide lahendamiseks analüütiline mehaanika efektiivsem kui rangelt vektoriaalne lähenemine.

Analüütiline mehaanika ei sisalda Newtoni mehaanikaga võrreldes uut füüsikat. See hõlmab kõigest selle ekvivalentseid formalisme, mis on väga üldised. Seejuures on käsitlus piisavalt üldine, et samu printsiipe ja formalisme saab kasutada ka relativistlikus mehaanikas, üldrelatiivsusteoorias ning mõningate muudatustega ka kvantmehaanikas ja kvantväljateoorias.

Seosed

Süsteemi nimetatakse vabaks, kui kõik selle punktid võivad liikuda suvaliste kiiruste ja kiirendustega. Reaalselt esineb selliseid süsteeme vähe – enamasti on süsteemi punktide liikumine piiratud. Näiteks kui vaadelda osakest, mis peab kogu liikumise vältel asuma sfääril raadiusega L, siis peavad selle koordinaadid rahuldama võrrandit

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=L^{2}.$

Seda tüüpi võrrandit nimetatakse seoseks. Kui vaadeldavas süsteemis on n punktosakest, avalduvad seosevõrrandid kujul

$f(t,x_{1},y_{1},z_{1},...,x_{n},y_{n},z_{n},{\dot {x_{1}}},{\dot {y_{1}}},{\dot {z_{1}}},...,{\dot {x_{n}}},{\dot {y_{n}}},{\dot {z_{n}}})=0.$

Näeme, et seostes võivad peale punktide koordinaatide esineda ilmutatud kujul ka aeg t ja koordinaatide esimest järku tuletised aja järgi.

Seoste mõju süsteemile avaldub neile vastavates reaktsioonijõududes ehk reaktsioonides R, mis avaldavad punktidele jõudu nõnda, et seosed oleksid rahuldatud. Näiteks kuulikesele, mis ripub jäiga varda (pikkusega L) otsas, mõjub varda tõmme sedasi, et kuulike on varda teisest otsast alati kaugusel L ehk asub sfääri pinnal. Seejuures ei tohi reaktsioonijõud põhjustada liikumist mööda seda pinda, mistõttu on reaktsioonijõud risti seosele vastava pinnaga ehk

$\mathbf {R} =\lambda \nabla f.$

D'Alembert'i printsiip

Virtuaalseks nihkeks nimetatakse igasugust infinitesimaalset koordinaatide muutust δr = (δx, δy, δz), mis allub fikseeritud ajahetkel süsteemi seostele. See tähendab, et kui seosevõrrand mingil ajahetkel on f (x, y, z), siis peab virtuaalne nihe rahuldama seost

$\nabla f\cdot \delta \mathbf {r} =0,$

mis ütleb, et virtuaalne nihe peab toimuma risti pinnanormaaliga ehk mööda pinda.

Kui vaadeldavas süsteemis on N osakest massidega m_n, millele mõjuvad jõud F_n ja seostest tingitud reaktsioonijõud R_n, siis Newtoni teise seaduse järgi

$m_{n}\mathbf {{\ddot {r}}_{n}} =\mathbf {F_{n}} +\mathbf {R_{n}} .$

Korrutades võrduse pooli virtuaalse nihkega δr_n ja summeerides üle kõigi osakeste, saame võrduse

$\sum _{n=1}^{N}m_{n}\mathbf {{\ddot {r}}_{n}} \cdot \delta \mathbf {r_{n}} =\mathbf {F_{n}} \cdot \delta \mathbf {r_{n}} +\mathbf {R_{n}} \cdot \delta \mathbf {r_{n}} ,$

kus parema poole viimane liige on null, sest reaktsioonijõud on risti virtuaalse nihkega. Seda arvestades ja võrrandi liikmeid ümber tõstes saame liikumisvõrrandi kujul, milles ei esine reaktsijoonijõude:

$\sum _{n=1}^{N}(\mathbf {F_{n}} -m_{n}\mathbf {{\ddot {r}}_{n}} )\cdot \delta \mathbf {r_{n}} =0.$

Saadud tulemust nimetatakse d'Alembert'i printsiibiks.

Üldistatud koordinaadid

Kolmemõõtmelises ruumis saab punktosakese asendit kirjeldada kolme ristkoordinaadiga x, y ja z. Kui sellest osakesest koosnev süsteem peab samas rahuldama seost f (x, y, z) = 0, siis ilmneb, et selle osakese asukoha määramiseks piisab kahest koordinaadist. Näiteks fikseerides x ja y koordinaadid, järelduvad z-i võimalikud väärtused seosevõrrandi kehtivusest. See tähendab, et seose olemasolu tõttu on süsteemi vabadusastmete arv ühe võrra väiksem kui oleks vabal punktosakesel. Vaadeldes näiteks punktosakest, mis on kinni raadiusega L sfääri pinnal, rahuldavad selle koordinaadid võrrandit

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=L^{2}.$

Kirjeldades sel juhul osakese asukohta sfääriliste koordinaatidega (r, θ, φ), avaldub seosevõrrand kujul

$r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi +r^{2}\cos ^{2}\theta =r^{2}\sin ^{2}\theta (\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )+r^{2}\cos ^{2}\theta =r^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )=r^{2}=L^{2}\implies r=L.$

See näitab, et sfäärilistes koordinaatides on toodud näites seotud vaid r-koordinaat ning θ ja φ võivad omada suvalisi väärtuseid, seega on süsteemil kaks vabadusastet.

Üldistatud koordinaatideks nimetatakse sõltumatuid koordinaate, mille väärtustega on süsteemi konfiguratsioon üheselt määratud. Kuna need peavad olema üksteisest sõltumatud, siis on nende arv võrdne vabadusastmete arvuga. Kui süsteemis on N punktosakest ja k seost, siis on vabadusastmete arv s = 3N – k.

Lagrange'i formalism

Vähima mõju printsiip

Süsteemi olekut mingil ajahetkel kirjeldavad üldistatud koordinaadid q₁,...,q_n, mis moodustavad n-mõõtmelise konfiguratsiooniruumi. Liikudes edasi ajas, liigub ka süsteemi olek selles konfiguratsiooniruumis ja moodustab trajektoori. Vähima mõju printsiip ütleb, et süsteemi liikumine ajahetkede t₁ ja t₂ vahel on selline, et mõjufunktsionaal

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\mathrm {d} t$

on minimaalne. Toodud avaldises on integrandiks Lagrange'i funktsioon, mis on kineetilise energia ja potentsiaalse energia vahe ehk

$L=T-U,$

kus T ja U on aja, üldistatud koordinaatide ja üldistatud kiiruste funktsioonid.

Lagrange'i võrrandid

Lähtudes variatsioonarvutusest saab näidata, et vähima mõju printsiibist järelduvad Lagrange'i võrrandid:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0,$

mis kujutavad endast teist järku osatuletisteta diferentsiaalvõrrandeid, mida on üks iga üldistatud koordinaadi kohta.

Lagrange'i funktsiooni omadused

Lagrange'i funktsioonil on järgmised omadused:

• lagranžiaan on invariantne aja ja üldistatud koordinaatide funktsiooni ajalise täistuletise liitmise suhtes ehk kui

$L'=L+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {q} ,t),$

annavad L' ja L täpselt samad liikumisvõrrandid;

• kui lagranžiaan ei sõltu ilmutatud kujul üldistatud koordinaadist q_j, siis on üldistatud impulss p_j jääv suurus. See omadus tuleneb otseselt Lagrange'i võrranditest:

${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\implies \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.$

Selliseid koordinaate, millest Lagrange'i funktsioon on sõltumatu, nimetatakse tsüklilisteks.

Hamiltoni formalism

Hamiltoni kanoonilised võrrandid

Hamiltoni formalismis kirjeldatakse süsteeme kanooniliste muutujatega, milleks on üldistatud koordinaadid q_j ja üldistatud impulsid p_j, mis avalduvad Lagrange'i funktsiooni kaudu kujul

$p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.$

Defineerides kanooniliste muutujate funktsiooni, hamiltoniaani

$H=\sum _{j=1}^{s}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L,$

saab Lagrange'i võrrandid kirjutada ümber kui esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi, milles võrrandite arv on kaks korda suurem:

${\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},\quad {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}.$

Saadud võrrandisüsteemi võrrandid on tuntud kui Hamiltoni võrrandid.

Hamiltoniaani ehk Hamiltoni funktsiooni füüsikaliseks tähenduseks on vaadeldava süsteemi mehaaniline energia, seega võib selle leidmiseks avaldada süsteemi energia ja esitada see üldistatud koordinaatide ja üldistatud impulsside kaudu.

Poisson'i sulud

Kui A ja B on kanooniliste muutujate ja aja funktsioonid, nimetatakse Poisson'i sulgudeks avaldist

$[A,B]=\sum _{j=1}^{s}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{j}}}\right).$

Ilmneb, et funktsiooni A või B ajalist täistuletist saab esitada Poisson'i sulgude ja hamiltoniaani kaudu kujul

${\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}.$

Sellest järeldub, et kui funktsioon A ei sõltu ilmutatud kujul ajast ehk selle osatuletis aja järgi on null ja selle Poisson'i sulud hamiltoniaaniga on null, siis on A liikumisintegraaliks. Kuna Poisson'i sulud on antisümmeetrilised, siis üheks selliseks funktsiooniks on hamiltoniaan ise. Kui mõista hamiltoniaani süsteemi mehaanilie energiana, siis võib öelda, et süsteemi energia on jääv juhul, kui hamiltoniaan ilmutatud kujul ajast ei sõltu.

Noetheri teoreem

Noetheri teoreemi järgi vastab igale süsteemi pidevale sümmeetriale jäävusseadus, kus pidevate sümmeetriate all mõeldakse sümmeetriateisendusi, mis erinevad vähe ühikteisendusest. See tähendab, et Noetheri teoreemi ei saa rakendada näiteks peegeldusele mingi tasandi suhtes. Muuseas järelduvad Noetheri teoreemist järgmised vastavused:

1. kui on olemas nihkesümmeetria, siis on impulsi nihkesuunaline komponent jääv;
2. kui on olemas pöördsümmeetria, siis on impulssmomendi pöördeteljesuunaline komponent jääv;
3. kui on olemas ajaline sümmeetria, siis on energia jääv.

Vaata ka

• Teoreetiline mehaanika
• Klassikaline mehaanika