Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus

Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus on matemaatilise analüüsi ja täpsemalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida diferentsiaaloperaatori D ja integraaloperaatori J reaalarvulisi või kompleksarvulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi.

Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit aste viitamaks korduvale lineaaroperaatori D rakendamisele funktsioonile f. Täpsemalt nii: .

Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus

jaoks, kuivõrd peaks tegu olema ruutjuure analoogiga diferentsiaaloperaatori jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida

mistahes reaalarvu a korral nii, et kui a on täisarvulise väärtusega n ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega.

Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori D astmete hulk on {| a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm {| n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis.

Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud,[1] on diferentsiaalvõrrandite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu.

AjaloostRedigeeri

Rakendusmatemaatikas ja matemaatilises analüüsis on murruline tuletis suvalist järku tuletis, kusjuures järk võib olla reaal- või kompleksarvuline. Selline kontseptsioon nägi ilmavalgust kirjas, mille kirjutas Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume de l'Hôpital'ile 1695. aastal.[2] Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus toodi esmakordselt välja ühes Niels Henrik Abel'i varases artiklis,[3] kus kõik vajaminevad komponendid on olemas: idee murrulist järku diferentseerimisest ja integreerimisest; nendevahelisest suhtest, mis on teineteise pöördtehe; mõistmine, et murrulist järku diferentseerimine ja integreerimine on sisuliselt samade klassikaliste operatsioonide üldistus; ning isegi üldistatud tähistusviis suvalise reaalarvulist järku operaatori jaoks.[4] Sõltumatult rajas kõnealuse valdkonna aluseid ka Joseph Liouville'i 1832. aasta artikkel.[5] Autodidakt Oliver Heaviside tõi esmakordselt välja murruliste diferentsiaaloperaatorite praktilise kasutusvõimaluse elektri ülekandeliinide analüüsimiseks umbes 1890. aastal.[6] Murrulise analüüsi teooria ja rakendused laienesid 19. ja 20. sajandil märkimisväärselt ning mitmed autorid on andnud murruliste tuletiste ja integraalide definitsioone.[7]

Murrulise tuletise olemusRedigeeri

a-ndat järku tuletis funktsioonist f(x) punktis x on lokaalne omadus vaid juhul, kui a on täisarv; see ei ole nii mitte-täisarvuliste astmetega tuletiste puhul. Teisisõnu, mitte-täisarvuline murruline tuletis f(x) punktis x=a sõltub kõigist f väärtustest, isegi neist, mis on punktist a kaugel. Seega võib eeldada, et murrulise tuletise võtmise operatsioon hõlmab endast mingisuguste ääretingimuste seadmist, mis sisaldab informatsiooni funktsiooni kohta kaugemal.[8]

a-ndat järku murruline tuletis on sageli defineeritud Fourier või Mellini integraalteisenduse kaudu.

HeuristikaRedigeeri

Loomulik on küsida, kas leidub lineaaroperaator H, nn pooltuletis nii, et

 

Osutub, et on olemas selline operaator, ning iga a > 0 jaoks on olemas operaator P nii, et

 

või teisiti öeldes,   definitsiooni saab üldistada kõigile n reaalarvulistele väärtustele.

Olgu f(x) defineeritud x > 0 korral. Koostame määratud integraali nullist x-ni. Nimetame selle

 

Protsessi korrates saame

 

ning seda võib üldistada edasi.

Cauchy valem kordseks integreerimiseks, täpsemalt

 

viib otse üldistuse juurde reaalarvuliste n jaoks.

Gammafunktsiooni kasutamine, et minna mööda faktoriaali funktsiooni diskreetsest iseloomust, annab meile loomuliku kandidaadi murrulise integraaloperaatori rakenduseks.

 

See on hästi defineeritud operaator.

Siit on otseselt nähtuv, et operaator J rahuldab

 

Seda suhet nimetatakse murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite poolrühma omaduseks. Kahjuks on samaväärne protseduur diferentsiaaloperaatori D jaoks märkimisväärselt keerulisem, kuid on võimalik näidata, et D ei ole üldiselt kommutatiivne ega aditiivne.[9]

Lihtsa astmefunktsiooni murruline tuletisRedigeeri

 
Funktsiooni f(x)=x (sinine joon) pooltuletis (lilla joon) ning esimest järku tuletis (punane joon).
 
Animatsioon näitab astmefunktsioonile y=x rakendatud tuletise operaatori pidevat ostsileerumist pöörd-tuletise (ehk määramata integraali) (α=−1: y=  ) ja tuletise (α=+1: y=1) vahel.

Olgu f(x) tegur kujul

 

Esimest järku tuletis on

 

Seda korrates saame üldisema tulemuse

 

Mis peale faktoriaalide asendamist gammafunktsiooniga viib avaldiseni

 

k=1 ja   jaoks saame pooltuletise funktsioonist x kui

 

Näitamaks, et see on tõepoolest pooltuletis (kus  ), kordame protseduuri ja saame:

 

(sest   ja Γ(1)=1) mis on tõepoolest oodatud tulemus, kui

 

Negatiivse täisarvulise astme k korral ei ole gammafunktsioon defineeritud ning tuleb kasutada järgnevat seost:[10]

 

Ülaltoodud diferentsiaaloperaatori üldistus ei pea olema piiratud reaalarvuliste astmetega. Näiteks (1 + i) järku tuletis võetuna (1 − i) järku tuletisest annab tulemuseks teist järku tuletise. Muutujale a negatiivsete väärtuste andmine annab tulemuseks integraalid.

Üldise funktsiooni f(x) ja 0 < α < 1 jaoks, on täielik murruline tuletis

 

Suvalise α jaoks, kuna gammafunktsioon ei ole defineeritud argumentide jaoks, mille reaalosa on negatiivne täisarv ning mille imaginaarosa on null, on vajalik rakendada murrulist tuletist peale täisarvulise tuletise rakendamist. Näiteks

 


Laplace'i teisendusRedigeeri

Võime jõuda murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite küsimuseni ka Laplace'i teisenduse kaudu. Teades, et

 

ja

 

jne, seega väidame

 .

Näiteks

 

nagu oligi oodata. Tõepoolest, kasutades konvolutsioonireeglit

 

ning selguse mõttes kirjutame   ja saame

 

mis on sama, mille saime eelnevalt Cauchy abil.

Laplace'i teisendused "töötavad" suhteliselt väheste funktsioonidega, aga nad on sageli kasulikud murruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Murrulised integraalidRedigeeri

Riemann–Liouville'i murruline integraalRedigeeri

Murrulise analüüsi klassikaline vorm algab Riemann-Liouville'i integraaliga, mida sisuliselt kirjeldati ka ülal. Riemann-Liouville'i integraal esineb kahes vormis – ülemine ja alumine. Vaadeldes vahemikku [a,b], on need integraalid defineeritud nii

 
 

Kus ülemine kehtib t>a korral ja alumine kehtib t<b korral.[11]

Vastupidiselt algab Grünwald–Letnikov'i tuletis hoopis tuletisest, mitte integraalist.

Hadamard'i murruline integraalRedigeeri

Hadamard'i murrulist integraali tutvustas Jacques Hadamard[12] ning see on antud järgnevalt

 

Atangana–Baleanu murruline integraalRedigeeri

Kasutades üldistatud Mittag-Leffler'i funktsiooni, pakkusid Atangana ja Baleanu välja uue formuleeringu mittelokaalse ja mittesingulaarse tuumaga murrulise tuletise jaoks. Integraal on defineeritud nii

 

kus AB(α) on funktsiooni normaliseerimine nii, et AB(0)=AB(1)=1.[13]

Murrulised tuletisedRedigeeri

Erinevalt klassikalistest Newtoni tuletistest defineeritakse murruline tuletis murrulise integraali kaudu.

 
Gaussiaani murrulised tuletised, interpoleerituna pidevalt funktsiooni ja tema esimese tuletise vahel.

Riemann–Liouville'i murruline tuletisRedigeeri

Vastav tuletis arvutatakse, kasutades Langrange'i reeglit diferentsiaaloperaatorite kohta. Arvutades n-dat järku tuletist integraalist järguga (nα), saadakse α-ndat järku tuletis. On oluline märkida, et n on vähim täisarv, mis on suurem kui α (st, n=⌈α⌉). Sarnaselt Riemann-Liouville'i integraalile on ka tuletisel ülemine ja alumine variant.[14]

 
 

Caputo murruline tuletisRedigeeri

Veel üks võimalus murrulise tuletise arvutamiseks on Caputo murruline tuletis. Seda tutvustas Michele Caputo oma 1967. aasta artiklis.[15] Erinevalt Riemann-Liouville'i tuletisest ei ole Caputo definitsiooni abil diferentsiaalvõrrandeid lahendades tarvis defineerida murrulist järku algtingimusi. Caputo definitsiooni illustratsioon, kus taas n=⌈α⌉, on järgnev:

 

Caputo murrulise tuletise definitsioon:

 

millel on eelis, et ta on null kui f(t) on konstant ja tema Laplace'i teisendus on väljendatud funktsiooni ja tema tuletise algväärtuste keskväärtustena.

Caputo-Fabrizio murruline tuletisRedigeeri

2015. aasta artiklis esitasid M. Caputo ja M. Fabrizio murrulise tuletise definitsiooni, millel on mittesingulaarne tuum, funktsiooni     jaoks:

 

kus  [16]

Atangana–Baleanu tuletisRedigeeri

Sarnaselt integraalile on ka murruline tuletis, mille puhul kasutatakse üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni tuumana.[13] Autorid tutvustasid kahte versiooni, üks on Atangana-Baleanu tuletis Caputo mõttes (ABC), mis on antud funktsiooni lokaalse tuletise ja Mittag-Leffleri funktsiooni konvolutsioon. Teine on Atangana-Baleanu tuletis Riemann-Liouville'i mõttes (ABR), mis on sellise funktsiooni konvolutsiooni tuletis, mida ei saa diferentseerida üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni abil.[17] Atangana-Baleanu murruline tuletis Caputo mõttes on defineeritud järgnevalt:

 

Atangana–Baleanu murruline tuletis Riemann–Liouville'i mõttes on defineeritud nii:

 

Riesz'i tuletisRedigeeri

 

kus F tähistab Fourier integraalteisendust.[18][19]

Veel mõningaid varianteRedigeeri

Klassikaliste murruliste tuletiste hulka kuuluvad:

Uute murruliste tuletiste hulka kuuluvad:

ÜldistusedRedigeeri

Erdélyi–Kober'i operaatorRedigeeri

Erdélyi–Kober'i operaator on Arthur Erdélyi poolt 1940. aastal[29] ja Hermann Kober'i poolt samuti 1940. aastal[30] tutvustatud integraaloperaator ning see on antud järgnevalt:

 

mis üldistab Riemann-Liouville'i integraaloperaatorit ja Weyl'i integraali.

FunktsionaalanalüüsRedigeeri

Funktsionaalanalüüsi kontekstis uuritakse ka üldisemaid funktsiooni f(D) kujusid, kui astmefunktsioon, sellega tegeletakse spektraalteoorias. Pseudo-diferentsiaaloperaatorite teooria lubab samuti käsitleda D astmeid. Seal esilekerkivad operaatorid on singulaarsed integraaloperaatorid ning klassikalise teooria kõrgematele järkudele üldistamine kannab Riesz'i potentsiaalide nime. Seega on mitu kaasaegset teooriat, mille raames on võimalik rääkida murrulisest matemaatilisest analüüsist.

RakendusedRedigeeri

Murruline massi jäävusRedigeeri

Nagu kirjeldasid Wheatcraft ja Meerschaert (2008),[31] on tarvis kasutada murrulist massi jäävuse võrrandit, et modelleerida vedeliku voolamist, kui kontrollruumala ei ole piisavalt suur võrreldes materjali heterogeensusega või kui voog kontrollruumala sees on mittelineaarne. Viidatud artiklis on massi jäävuse murruline võrrand toodud järgmiselt:

 

Põhjavee ülesanneRedigeeri

2013–2014 kirjeldasid Atangana et al. mõningaid põhjavee voolamise probleeme kasutades murrulist järku tuletise kontseptsiooni.[32][33] Nendes töödes üldistatakse klassikalist Darcy seadust, käsitledes veevoolu kui funktsiooni piesomeetrilise samba kõrguse murrulisest tuletisest. Seda üldistust ja massi jäävuse seadust kasutati, et tuletada uus võrrand põhjavee voolamise kirjeldamiseks.

Murruline advektsiooni hajumise võrrandRedigeeri

Kõnealune võrrand on leidnud kasutust, et modelleerida saastunud aine voolamist poorses keskkonnas.[34][35][36]

Atangana ja Kilicman laiendasid murrulise advektsiooni hajumise võrrandit. Nende töös üldistati hüdrodünaamilise dispersiooni võrrandit, kasutades varieeruvat järku tuletist. Modifitseeritud võrrand lahendati numbriliselt Crank-Nicolsoni meetodil. Numbriliste simulatsioonide stabiilsus ja koonduvus näitasid, et modifitseeritud võrrand on usaldusväärsem saaste liikumise ennustamiseks, kui varasemad variandid.[37]

Murrulised difusioonivõrrandidRedigeeri

Anomaalseid difusiooniprotsesse keerulistes keskkondades saab edukalt modelleerida murrulist järku difusioonivõrrandite abil.[38][39] Murrulise difusiooni kirjeldava võrrandi võib kirja panna näiteks nii

 

Murrulise tuletise laiendus on varieeruvat järku diferentsiaalvõrrand, α ja β viiakse kujule α(x,t) ja β(x,t). Selle rakendusi anomaalse difusiooni modelleerimisel võib leida viidetest.[37][40][41]

Sumbuvuse mudelidRedigeeri

Murrulisi tuletisi kasutatakse, et modelleerida viskoelastset sumbuvust teatud tüüpi materjalides, nt polümeerides.[42]

PID kontrolleridRedigeeri

PID kontrollerite üldistamine murruliste järkude kaudu suurendab nende vabadusastet. Uus võrrand, mis seob kontrollmuutuja u(t) mõõdetud veahinnnagu e(t) külge, saab kirjutada

 

kus α ja β on positiivsed murrulised järgud ja  ,  , ning  , kõik mittenegatiivsed, tähistavad koefitsiente vastavalt proportsionaalse, integraaliga, ja tuletisega liikmete jaoks (vahel tähistatud P, I, ja D).[43]

Akustilised lainevõrrandid keerulistes keskkondadesRedigeeri

Helilainete levik keerulistes keskkondades, nt bioloogilises koes, viitab sageli laine levikule mõjuvale segajale, mis allub sageduse ja võimsuse suhtele. Sellist nähtust võib kirjeldada, kasutades põhjuslikku lainevõrrandit, mis hõlmab ka murrulist järku tuletist aja järgi:

 


Vt ka Holm & Näsholm (2011)[44] ja sealsed viited. Sellised mudelid on seotud laialt levinud hüpoteesiga, et korduvad relaksatsiooniprotsessid mõjutavad lainete sumbuvust keerulistes keskkondades. Seda seost on täpsemalt kirjeldanud Näsholm & Holm (2011)[45] ja ülevaateartiklis,[46] ja niisamuti akustilise sumbuvuse artiklis. Vt Holm & Näsholm (2013)[47], kus võrreldakse murrulisi lainevõrrandeid astmefunktsioone kasutava mudeliga. Holmi raamat astmefunktsioonidega kirjeldatavast sumbuvusest käsitleb samuti kõnealust teemat detailselt.[48]

Pandey ja Holm andsid murrulistele diferentsiaalvõrranditele füüsikalise tähenduse, kui tuletasid need füüsikalistest printsiipidest ning tõlgendasid murrulisi järke akustilise keskkonna parameetrite kaudu.[49] Pandey ja Holm tuletasid seismoloogias tuntud Lomnitz'i seaduse ja reoloogias tuntud Nutting'i seaduse, kasutades murrulist matemaatilist analüüsi.[50] Nutting'i seadust kasutati modelleerimaks lainete levikut meresetetes, kasutades murrulisi tuletisi.[49]

Murruline Schrödingeri võrrand kvantfüüsikasRedigeeri

Murruline Schrödingeri võrrand, mis on murrulise kvantmehaanika põhivõrrand, omab järgnevat kuju:[51][52]

 

kus võrrandi lahendiks on lainefunktsioon kujul ψ(r, t) – kvantmehaaniline tõenäosusamplituud, et osakesel on teatud olekuvektori väärtus r mistahes ajahetkel t, kus ħ on Plancki nurkkonstant. Potentsiaalse energia V(r, t) avaldise täpne kuju sõltub vaadeldavast süsteemist.

  on Laplace'i operaator, ja   on skaalategur, mille füüsikaline dimensioon on  , (kus α=2,   osakese jaoks massiga m), ja operaator   on 3-mõõtmeline murruline Riesz'i tuletis, mis on defineeritud kui

 

Indeks α on murrulises Schrödingeri võrrandis Lévy indeksi nime all, 1 < α ≤ 2.

Varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrandRedigeeri

Murrulise Schrödingeri võrrandi üldistus on varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand, mida on samuti kasutatud kvantnähtuste uurimisel:[53]

 

kus   on Laplace'i operaator ja operaator   on varieeruva järguga murruline Riesz'i tuletis.

ViitedRedigeeri

  1. Daniel Zwillinger. Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-2096-3. 
  2. Katugampola, Udita N. "A New Approach To Generalized Fractional Derivatives". Bulletin of Mathematical Analysis and Applications 6 (4): 1–15. Bibcode:2011arXiv1106.0965K. arXiv:1106.0965. 
  3. Niels Henrik Abel (1823). "Oplösning af et par opgaver ved hjelp af bestemte integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals)". Magazin for Naturvidenskaberne (Kristiania (Oslo)): 55–68. 
  4. Igor Podlubny, Richard L. Magin, and Irina Trymorush (2017). "Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus". Fractional Calculus and Applied Analysis 20 (5): 1068–1075. arXiv:1802.05441 . doi:10.1515/fca-2017-0057. 
  5. Ajaloolise ülevaate saamiseks vt väitekirja (prantsuse keeles): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
  6. Ajaloolise tagasivaate saamiseks antud teemal kuni 20. sajandini, vt: Bertram Ross (1977). "The development of fractional calculus 1695-1900". Historia Mathematica 4: 75–89. doi:10.1016/0315-0860(77)90039-8. 
  7. Valério, Duarte; Machado, José; Kiryakova, Virginia. "Some pioneers of the applications of fractional calculus". Fractional Calculus and Applied Analysis 17 (2). ISSN 1314-2224. doi:10.2478/s13540-014-0185-1. 
  8. "Fractional Calculus". www.mathpages.com. 
  9. Kilbas, Srivastava & Trujillo 2006, p. [[[:Mall:Google books]] 75 (Property 2.4)]
  10. Short Introduction to Fractional Calculus, http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf 
  11. Hermann, Richard (2014). Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (trükk: 2nd). New Jersey: World Scientific Publishing. lk 46. Bibcode:2014fcip.book.....H. ISBN 978-981-4551-07-6. doi:10.1142/8934. 
  12. Hadamard, J. (1892). "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4 (8): 101–186. 
  13. 13,0 13,1 Mall:Cite arxiv
  14. Herrmann, Richard, toim. (2014). Fractional Calculus. Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (trükk: 2nd) (New Jersey: World Scientific Publishing Co.). lk 54Mall:Verify source. Bibcode:2014fcip.book.....H. ISBN 978-981-4551-07-6. doi:10.1142/8934. 
  15. Caputo, Michele (1967). "Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II". Geophysical Journal International 13 (5): 529–539. Bibcode:1967GeoJ...13..529C. doi:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.  .
  16. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro. "A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel". Progress in Fractional Differentiation and Applications 1 (2): 73–85. 
  17. Atangana, Abdon; Koca, Ilknur (2016). "Chaos in a simple nonlinear system with Atangana–Baleanu derivatives with fractional order". Chaos, Solitons & Fractals 89: 447–454. Bibcode:2016CSF....89..447A. doi:10.1016/j.chaos.2016.02.012. 
  18. Chen, YangQuan; Li, Changpin; Ding, Hengfei. "High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications". Abstract and Applied Analysis (inglise keeles) 2014: 1–17. doi:10.1155/2014/653797. 
  19. Bayın, Selçuk Ş. "Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics". Journal of Mathematical Physics 57 (12): 123501. Bibcode:2016JMP....57l3501B. arXiv:1612.03046 . doi:10.1063/1.4968819. 
  20. 20,00 20,01 20,02 20,03 20,04 20,05 20,06 20,07 20,08 20,09 20,10 20,11 de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António. "A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral". Mathematical Problems in Engineering (inglise keeles) 2014: 1–6. doi:10.1155/2014/238459. 
  21. 21,0 21,1 21,2 Aslan, İsmail. "An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation". Mathematical Methods in the Applied Sciences (inglise keeles) 38 (1): 27–36. doi:10.1002/mma.3047. 
  22. Ma, Li; Li, Changpin. "On hadamard fractional calculus". Fractals 25 (3): 1750033. ISSN 0218-348X. doi:10.1142/S0218348X17500335. 
  23. Miller, Kenneth S. (1975). "The weyl fractional calculus". peatükis Ross, Bertram. Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications: Proceedings of the International Conference Held at the University of New Haven, June 1974. Lecture Notes in Mathematics (inglise keeles) 457 (Springer). lk 80–89. ISBN 978-3-540-69975-0. doi:10.1007/bfb0067098. 
  24. Ferrari, Fausto. "Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History". Mathematics (inglise keeles) 6 (1): 6. doi:10.3390/math6010006. 
  25. Anderson, Douglas R.; Ulness, Darin J. "Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics". Journal of Mathematical Physics 56 (6): 063502. ISSN 0022-2488. doi:10.1063/1.4922018. 
  26. 26,0 26,1 Algahtani, Obaid Jefain Julaighim. "Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model". Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Dynamics and Complexity (inglise keeles) 89: 552–559. ISSN 0960-0779. doi:10.1016/j.chaos.2016.03.026. 
  27. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (01-01-2016). "Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels". Progress in Fractional Differentiation and Applications 2 (1): 1–11. ISSN 2356-9336. doi:10.18576/pfda/020101.  Kontrolli kuupäeva väärtust kohas: |date= (juhend)
  28. Atangana, Abdon; Baleanu, Dumitru (2016). "New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model". Thermal Science (inglise keeles) 20 (2): 763–769. ISSN 0354-9836. doi:10.2298/TSCI160111018A. 
  29. Erdélyi, Arthur (1950–51). "On some functional transformations". Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino 10: 217–234. MR 0047818. 
  30. Kober, Hermann (1940). "On fractional integrals and derivatives". The Quarterly Journal of Mathematics. os-11 (1): 193–211. Bibcode:1940QJMat..11..193K. doi:10.1093/qmath/os-11.1.193. 
  31. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M. "Fractional conservation of mass". Advances in Water Resources (inglise keeles) 31 (10): 1377–1381. Bibcode:2008AdWR...31.1377W. ISSN 0309-1708. doi:10.1016/j.advwatres.2008.07.004. 
  32. Atangana, Abdon; Bildik, Necdet (2013). "The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow". Mathematical Problems in Engineering 2013: 1–9. doi:10.1155/2013/543026. 
  33. Atangana, Abdon; Vermeulen, P. D. (2014). "Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation". Abstract and Applied Analysis 2014: 1–11. doi:10.1155/2014/381753. 
  34. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "Application of a fractional advection-dispersion equation". Water Resources Research 36 (6): 1403–1412. Bibcode:2000WRR....36.1403B. doi:10.1029/2000wr900031. 
  35. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion". Water Resources Research 36 (6): 1413–1423. Bibcode:2000WRR....36.1413B. doi:10.1029/2000wr900032. 
  36. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M.; Schumer, Rina; Benson, David A. "Fractional Dispersion, Lévy Motion, and the MADE Tracer Tests". Transport in Porous Media (inglise keeles) 42 (1–2): 211–240. ISSN 1573-1634. doi:10.1023/A:1006733002131. 
  37. 37,0 37,1 Atangana, Abdon; Kilicman, Adem (2014). "On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative". Mathematical Problems in Engineering 2014: 9. doi:10.1155/2014/542809. 
  38. Metzler, R.; Klafter, J. (2000). "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach". Phys. Rep. 339 (1): 1–77. Bibcode:2000PhR...339....1M. doi:10.1016/s0370-1573(00)00070-3. 
  39. Mainardi, F.; Luchko, Y.; Pagnini, G. (2001). "The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation". Fractional Calculus and Applied Analysis 4 (2): 153–192. Bibcode:2007cond.mat..2419M. arXiv:cond-mat/0702419. 
  40. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco. "Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk". peatükis Rangarajan, G.; Ding, M. Processes with Long-Range Correlations. Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics 621. lk 148–166. Bibcode:2003LNP...621..148G. ISBN 978-3-540-40129-2. arXiv:0709.3990. doi:10.1007/3-540-44832-2_8. 
  41. Colbrook, Matthew J.; Ma, Xiangcheng; Hopkins, Philip F.; Squire, Jonathan (2017). "Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 467 (2): 2421–2429. Bibcode:2017MNRAS.467.2421C. arXiv:1610.06590 . doi:10.1093/mnras/stx261. 
  42. Mainardi, Francesco. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity (inglise keeles). Imperial College Press. ISBN 9781848163294. doi:10.1142/p614. 
  43. Tenreiro Machado, J. A.; Silva, Manuel F.; Barbosa, Ramiro S.; Jesus, Isabel S.; Reis, Cecília M.; Marcos, Maria G.; Galhano, Alexandra F. (2010). "Some Applications of Fractional Calculus in Engineering". Mathematical Problems in Engineering (inglise keeles) 2010: 1–34. doi:10.1155/2010/639801. 
  44. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". Journal of the Acoustical Society of America 130 (4): 2195–2201. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. PMID 21973374. doi:10.1121/1.3631626. 
  45. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2011). "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations". Journal of the Acoustical Society of America 130 (5): 3038–3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. PMID 22087931. doi:10.1121/1.3641457. 
  46. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2012). "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation". Fract. Calc. Appl. Anal. 16. Bibcode:2012arXiv1212.4024N. arXiv:1212.4024. doi:10.2478/s13540-013-0003-1. 
  47. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2013). "Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography". Ultrasound in Medicine & Biology 40 (4): 695–703. Bibcode:2013arXiv1306.6507H. PMID 24433745. arXiv:1306.6507. doi:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. 
  48. Holm, S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. Springer and Acoustical Society of America Press. ISBN 9783030149260. 
  49. 49,0 49,1 Pandey, Vikash; Holm, Sverre. "Connecting the grain-shearing mechanism of wave propagation in marine sediments to fractional order wave equations". The Journal of the Acoustical Society of America 140 (6): 4225–4236. ISSN 0001-4966. PMID 28039990. arXiv:1612.05557 . doi:10.1121/1.4971289. 
  50. Pandey, Vikash; Holm, Sverre (23-09-2016). "Linking the fractional derivative and the Lomnitz creep law to non-Newtonian time-varying viscosity". Physical Review E 94 (3): 032606. PMID 27739858. doi:10.1103/PhysRevE.94.032606.  Kontrolli kuupäeva väärtust kohas: |date= (juhend)
  51. Laskin, N. (2002). "Fractional Schrodinger equation". Phys. Rev. E 66 (5): 056108. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. PMID 12513557. arXiv:quant-ph/0206098. doi:10.1103/PhysRevE.66.056108. 
  52. Laskin, Nick (2018). Fractional Quantum Mechanics. ISBN 978-981-322-379-0. doi:10.1142/10541. 
  53. Bhrawy, A.H.; Zaky, M.A. (2017). "An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations". Applied Numerical Mathematics 111: 197–218. doi:10.1016/j.apnum.2016.09.009. 

AllikadRedigeeri

  • Kilbas, Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Netherlands: Elsevier. ISBN 978-0-444-51832-3. 

LisalugemiseksRedigeeri

Artikleid murrulise matemaatilise analüüsi ajaloostRedigeeri

  • Ross, B. (1975). "A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus". Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics. Lecture Notes in Mathematics 457. lk 1–36. ISBN 978-3-540-07161-7. doi:10.1007/BFb0067096. 
  • Debnath, L. (2004). "A brief historical introduction to fractional calculus". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 35 (4): 487–501. doi:10.1080/00207390410001686571. 
  • Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, V.; Mainardi, F. (2011). "Recent history of fractional calculus". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16 (3): 1140–1153. Bibcode:2011CNSNS..16.1140M. doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027. 
  • Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.; Trujillo, J.J. (2013). "Science metrics on fractional calculus development since 1966". Fractional Calculus and Applied Analysis 16 (2): 479–500. doi:10.2478/s13540-013-0030-y. 
  • Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.S.F.; Trujillo, J.J. (2014). "On development of fractional calculus during the last fifty years". Scientometrics 98 (1): 577–582. doi:10.1007/s11192-013-1032-6. 

RaamatudRedigeeri

VälislingidRedigeeri