Määratud integraal

Funktsiooni määratud integraal on arvuliselt võrdne sinisega tähistatud ala pindala ja kollasega tähistatud ala pindala vahega

Olgu reaalmuutuja funktsioon pidev ja tõkestatud lõigus [ab], siis määratud integraal

on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.

Newtoni-Leibnizi valemRedigeeri

  Pikemalt artiklis Newtoni-Leibnizi valem

Olgu funktsioon   lõigus [ab] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon  . Siis

 

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks.

NäideRedigeeri

 

Riemanni integraalsummaRedigeeri

 
Riemanni summa koondub, kui osalõike vähendada ükskõik mis viisil

Olgu a ja b reaalarvud (a < b), siis lõigu [a,b] saab jaotada osalõikudeks nii, et

 

Lõigu [a,b] n osalõiguks [xi−1, xi] jaotamisel (i=1,2,...,n) ja fikseerides igas osalõigus suvaliselt mingi punkt ti ∈ [xi−1, xi], avaldub funktsiooni f(x) Riemanni integraalsumma lõigus [a, b] kujul

 

kus iga liige summas on väikese ristküliku pindala. Ristküliku kõrgus on võrdne funktsiooni väärtusega kohal ti ja laius on sama mis osalõigu [xi−1, xi] pikkus Δi. Olgu Δi = xixi−1 osalõigu i pikkus; siis osalõikude maksimaalne pikkus on λ=max1≤in Δi. Seega esindab λ kõiki selliseid jaotusi, sõltumata jaotusviisist, kus osalõikude [xi−1, xi] maksimaalne pikkus on λ. Kui eksisteerib piirväärtus

 

mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide ti valikust, siis kõneldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigus [a; b] .

Vaata kaRedigeeri