Logaritmiline diferentseerimine

Logaritmiline diferentseerimine on funktsiooni diferentseerimise meetod, mille puhul kasutatakse funktsiooni ƒ logaritmilist tuletist

$[\ln(f)]'={\frac {1}{f}}\cdot f'$.

Sellist võtet kasutatakse sageli juhul, kui lihtsam on diferentseerida funktsiooni logaritmi kui funktsiooni ennast. Seejuures kasutatakse logaritmi (eelkõige naturaallogaritmi) omadusi, mis teisendavad korrutist liitmiseks, jagatist lahutamiseks ja astendamist korrutiseks. Kui tegemist on funktsiooniga, kus argument on nii astme aluses kui ka astendajas, on logaritmilise diferentseerimise võte möödapääsmatu.

Ülevaade

Funktsiooni

$y=f(x)\,$

logaritmilist diferentseerimist alustatakse funktsioonist naturaallogaritmi võtmisega

$\ln y=\ln[f(x)]\,$.

Siin kasutatakse funktsiooni avaldise $f(x)$ lihtsustamiseks logaritmi omadusi

$\log(ab)=\log a+\log b\ ,\qquad \log {\frac {a}{b}}=\log a-\log b\ ,\qquad \log a^{n}=n\log a\ .$

Seejärel võetakse tuletis:

${\frac {1}{y}}\cdot y'={\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)$

Lõpuks avaldatakse funktsiooni tuletis y', korrutades võrrandi mõlemad pooled avaldisega y, et vabaneda avaldisest 1/y :

$\ y'={\frac {f'(x)}{f(x)}}\times y=f'(x).$

Näide

Funktsiooni $y=x^{x}$ logaritmiliseks diferentseerimiseks tuleb võtta funktsioonist naturaallogaritm.

$\ \ln y=\ln x^{x}=x\ln x$

Seejärel võtta võrrandi mõlemast poolest tuletis.

${\frac {1}{y}}\cdot y'=(x\ln x)'=(x)'\cdot \ln x+x\cdot (\ln x)'=1\cdot \ln x+x\cdot {\frac {1}{x}}=\ln x+1$

Tuletis $\ y'$ avaldub järgmiselt:

$y'=(\ln x+1)\cdot y=(\ln x+1)\cdot x^{x}$

Funktsiooni $y=x^{x}$ tuletis on $y'=(\ln x+1)x^{x}$.

Vaata ka

• Logaritmiline resiid
• Tuletis (matemaatika)
• Naturaallogaritm