Fraktal

Fraktal on enesesarnane kujund või nähtus, mille struktuur eri tasemetel või suurendusastmetel on sarnane tervikkujundiga.

Kitsas tähenduses fraktalid on geomeetrilised objektid, mille mõni mõõde ei ole täisarv ning mida saab konstrueerida matemaatiliste algoritmidega. Sellised fraktalid on näiteks Mandelbroti fraktal ja allpool toodud kõverad. Laiemas tähenduses võib fraktal olla aga mistahes enesesarnane objekt: puuvõra, veekogu rannajoon, elusolendi närvikudede või veresoonte võrk. Ka suured inimeste loodud süsteemid – linnade plaanid ja organisatsioonid – on vaadeldavad kui fraktalid.

Fraktalid matemaatikas

Fraktaleid on matemaatikas uuritud alates 20. sajandi algusest.^[1] Fraktali mõiste võttis 1975. aastal kasutusele matemaatik Benoît Mandelbrot. Tema definitsiooni järgi on fraktal mittetäisarvulise dimensionaalsusega geomeetriline kujund või eukleidilise ruumi alamhulk. Termini nimi viitab ladinakeelsele sõnale frāctus 'murtud', kuna kõige lihtsamaid fraktaleid saab konstrueerida sirglõigu korduva (rekursiivse) murdmise või jagamise teel. Sellised fraktalid on näiteks Hilberti kõver, Kochi lumehelves ja "draakoni kõver". Geomeetrilisi fraktaleid saab konstrueerida ka kahe- või kolmemõõtmeliste objektide jagamisel ja kordamisel – nii tekivad näiteks Pütaagorase puu, Sierpinski vaip (kolmnurk) ja Mengeri käsn.

Fraktaalsel kujundil võib olla näiteks lõplik pindala, kuid lõpmatu ümbermõõt või pikkus.

Kõige tuntum matemaatiline fraktal on Mandelbroti fraktal ehk Mandelbroti hulk. Selle moodustamiseks tuleb kompleksarvude tasandil rakendada lihtsat iteratiivset algoritmi ning leida, kas selle tulemus koondub või mitte. Tekkiv kujund on visuaalselt väga ilus. Kui Mandelbroti fraktalit "suurendada", st arvutada see välja tekkinud piirjoone mingil väiksemal alal, siis on "suurendatud" kujund kogu hulgaga sarnane. Internetis on palju interaktiivseid Mandelbroti fraktali vaatamise ja uurimise lehti, näiteks siin.^[2] Lihtsa algoritmi ja kena tulemuse tõttu on Mandelbroti fraktali (ja sellega seotud Julia hulga) joonistamine ka populaarne programmeerimisülesanne.

Fraktalite alla klassifitseeritakse matemaatikas ka kaoseteooriast tuntud veidrad atraktorid ja mitmed muud lõpmatult keerulise struktuuriga hulgad.

Fraktalid looduses

Looduses leidub fraktaleid või fraktalilaadseid nähtusi igas suuruses, alates universumi kosmoloogilisest superstruktuurist^[3] kuni ainete kristallvõreni ning raku ehituseni.

Looduslike fraktalite uurimine algas tõdemusest, et riigipiiride ja eriti rannajoonte pikkus sõltub nende mõõtmise täpsusest ning on seda suurem, mida täpsemalt mõõta. Vahed on suured; 1951. aastal leiti, et Portugali ja Hispaania vahelise piiri pikkus on Hispaania entsüklopeedias 987 km, kuid Portugali omas 1214 km.^[4] Nendest tähelepanekutest ja eriti Suurbritannia rannajoone mõõtmistest saigi alguse moodne fraktalgeomeetria. Arvutati välja eri riikide või rannajoone lõikude matemaatilised dimensioonid. Suurbritannial on see 1,25, väga liigendatud Norra rannikul 1,52, Eesti rannajoonel 1,2 ja suhteliselt ühtlasel Lõuna-Aafrika rannajoonel 1,05.

Näited fraktalite kohta looduses

Veekogude või saarte rannajooned
Puude ja põõsaste võrad
Taimede lehtede ja õisikute struktuurid
Pikesenoole kuju
Elusolendi närvisüsteemi ja veresoonte võrk
Imetajate kopsude ehitus
Mäestike topograafia
Jõgede kuju nii ülemjooksul (mägedes), keskjooksul (looked) kui suudmealal (deltad)
Ainete kristallstruktuur
Universumi superstruktuur galaktikate superparvedest kuni planeedisüsteemideni

Paljude loodusnähtuste puhul ei ole tegemist puhtakujulise fraktaliga, kuid fraktalgeomeetria meetodite kasutamine võimaldab vastavaid objekte uurida ja kirjeldada uudsel viisil.

Fraktalid kunstis

Korduvate ja eri suurustes iseendaga sarnaste mustrite võimalusi on kasutatud ära nii arhitektuuris^[5], maastikukujunduses^[6] kui ka kujutavas kunstis. Budistlikud mandalad on tihti fraktalilaadsed.

Arvutite teke ja levik on muutnud matemaatiliste fraktalite loomise kergeks ja käepäraseks. Paljude ülikoolide kunsti ja tehnoloogiat siduvates kursustes^[7] on fraktalid kasutusel näitena "arvuti abil tehtavast kunstist". Fraktalite aluseks olevad algoritmid on tihti väga lihtsad, seetõttu saab isegi algaja programmeerija joonistada väga ilusaid ja tänu oma "suurendatavusele" visuaalset avastamisrõõmu pakkuvaid kujundeid.

Fraktalite joonistamiseks ja uurimiseks on loodud palju erinevaid programme nii allalaadimiseks kui ka otse Internetis kasutamiseks.^[8]^[9]

Fraktalite näiteid

Draakoni kõver
Pütaagorase puu
Mandelbroti fraktali suurendus
Vismutikristalli struktuur
Suurbritannia rannajoon eri täpsusega mõõtes
Viinapuulehe struktuur

Vaata ka

Viited

↑ Britannica. "Fractal". Encyclopædia Britannica. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ "Explore the Mandelbrot Set". Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ Forbes (6. jaanuar 2021). "Is The Universe Actually A Fractal?". Forbes. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ "Why Knowing the True Length of a Coastline or Border is Impossible". The Interesting Fact of the Day Blog. 3. september 2020. Originaali arhiivikoopia seisuga 7. veebruar 2022. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ Fractals in Indian Architecture. "Fractals in Indian Architecture". Yale ülikooli veebileht. Originaali arhiivikoopia seisuga 20. oktoober 2021. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ Agnès Patuano, M. Francisca Lima (19. märts 2021). "The fractal dimension of Islamic and Persian four-folding gardens". Nature. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ Aivar Annamaa (2016). "Rekursioon ja fraktal". TÜ Arvutiteaduse instituudi programmeerimise algkursuse õpik. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ "Ultimate Guide to Fractal Generators". AI Artists. 2021. Vaadatud 7. veebruar 2022.
↑ "Fractal apps at Google Play store". Google Play store. Vaadatud 7. veebruar 2022.

Välislingid

Heino Tooming. "Kaose-fraktalite käsitus kujundamas 21. sajandi nägu". Horisont 4 / 2003
Fraktalid. Jüri Engelbrechti kursus "Mittelineaarne dünaamika", peatükk 6
Fraktalite kirjeldus Brilliant.org veebilehel
Fractals - Hunting the Hidden Dimension. PBS Nova dokumentaal fraktalite kasutamisest elektroonikas, filmikunstis, meditsiinis jne

[1] Britannica. "Fractal". Encyclopædia Britannica. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[2] "Explore the Mandelbrot Set". Vaadatud 7. veebruar 2022.

[3] Forbes (6. jaanuar 2021). "Is The Universe Actually A Fractal?". Forbes. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[4] "Why Knowing the True Length of a Coastline or Border is Impossible". The Interesting Fact of the Day Blog. 3. september 2020. Originaali arhiivikoopia seisuga 7. veebruar 2022. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[5] Fractals in Indian Architecture. "Fractals in Indian Architecture". Yale ülikooli veebileht. Originaali arhiivikoopia seisuga 20. oktoober 2021. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[6] Agnès Patuano, M. Francisca Lima (19. märts 2021). "The fractal dimension of Islamic and Persian four-folding gardens". Nature. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[7] Aivar Annamaa (2016). "Rekursioon ja fraktal". TÜ Arvutiteaduse instituudi programmeerimise algkursuse õpik. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[8] "Ultimate Guide to Fractal Generators". AI Artists. 2021. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[9] "Fractal apps at Google Play store". Google Play store. Vaadatud 7. veebruar 2022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]