Plokkmaatriks

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse plokkmaatriksiks maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse plokkideks. Iga maatriksit saab käsitleda plokkmaatriksina, mis koosneb ühest plokist.

Näide

Maatriksi

$A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}$

saab jaotada neljaks 2×2 plokiks

$A_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},A_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},A_{21}={\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}},A_{22}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}}.$

Maatriksi A saab nüüd plokkmaatriksina ümber kirjutada:

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.$

Definitsioon

Olgu iga $i=1,...,k$, $j=1,...,l$ jaoks antud m_i × n_j-maatriks $A_{ij}$ ($m_{i}$ ja $n_{j}$ on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt $i$-st ja $j$-st). Plokkmaatriksiks nimetatakse maatriksit $A=(A_{ij})$; maatrikseid $A_{ij}$ nimetatakse maatriksi $A$ plokkideks.

Plokkmaatriksite korrutamine

Plokkmaatriksite korrutamist saab teostada plokkide kaudu. Olgu antud m × k-maatriks $A$, mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}$,

ning k × n-maatriks $B$, mille read on jaotatud q ja veerud p plokiks

$B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}$,

siis maatrikskorrutise

$C=AB\,$

saab leida plokkhaaval, kusjuures $C$ on m × n-maatriks, mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki. Maatriksi $C$ plokid on

$C_{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}A_{\alpha \gamma }B_{\gamma \beta }.$

Plokk-diagonaalsed maatriksid

Plokk-diagonaalne maatriks ehk kast-diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (plokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Plokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on

$A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}$,

kus iga $A_{i}$ on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite $A_{1}$, ... , $A_{n}$ otsesumma, mida võib tähistada, kui $A_{1}\oplus A_{2}\oplus ...\oplus A_{n}$ või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega $\operatorname {diag} (A_{1},A_{2},...,A_{n})$. Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest plokist koosnevat diagonaalset plokkmaatriksit.

Plokk-diagonaalse maatriksi determinandi ja jälje jaoks kehtib

$\operatorname {det} A=\operatorname {det} A_{1}\cdots \operatorname {det} A_{n}$,

$\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A_{1}+\cdots +\operatorname {tr} A_{n}$.

Plokk-kolmnurkmaatriksid

Plokk-kolmnurkmaatriksid on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on plokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida ülemistest ja alumistest plokk-kolmnurkmaatriksitest.

Otsesumma

 Pikemalt artiklis otsesumma

Iga maatriksi $A$ (m × n-järku) ja $B$ (p × q-järku), saab konstrueerida maatriksite $A$ ja $B$ otsesumma

$A\oplus B={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}.$

Näiteks

${\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.

Tensorkorrutis

 Pikemalt artiklis tensorkorrutis