Tensorkorrutis

Vektorite, maatriksite, tensorite, vektorruumide, algebrate, topoloogiliste vektorruumide, moodulite vms tensorkorrutis (tähis ⊗) on küll detailides erinevalt defineeritud, kuid on alati kõige üldisem bilineaarne kujutis.

Mõnes kontekstis on tensorkorrutis sama mis väliskorrutis.

Tensorkorrutis on defineeritud ka monoidaalsete kategooriate kontekstis.

Lineaaralgebras ja diferentsiaalgeomeetrias kirjeldatakse tensorkorrutiste abil multilineaarvorme. Kommutatiivses algebras ja algebralises geomeetrias vastab see ühelt poolt geomeetriliste struktuuride ahendile alamhulkadele, teiselt poolt geomeetriliste objektide otsekorrutisele.

Vektorruumide tensorkorrutisRedigeeri

Olgu V ja W vektorruumid üle ühise korpuse. Siis tensorkorrutis

 

on vektorruum, mille võib konstrueerida järgmiselt. Kui   on ruumi V baas ja   on ruumi W baas, siis   on vektorruum, milles leidub baas, mille elemente saab viia üksühesesse vastavusse lähteruumide baaside otsekorrutise

 

järjestatud paaridega. Ruumi   mõõde võrdub seetõttu ruumide V ja W mõõdete korrutisega.

Selle baasi elementi, mis vastab järjestatud paarile  , tähistatakse  . Sümbolil   ei ole sealjuures seni sügavamat tähendust. Nüüd võib selle baasi abil defineerida ruumide V ja W vektorite korrutise, mida tähistatakse sellesama tehtemärgiga. Loomulikult on kahe baasivektori   ja   korrutis just see baasivektor, mille tähiseks sai  . Suvaliste vektorite korrutise saab nüüd bilineaarse jätku abil:

vektoritele   ja  , kus   on lõplikud,

seatakse vastavusse korrutis

 .

Lõplikumõõtmeliste vektorruumide V ja W korral saab tensorkorrutise konstrueerida maatriksite ruumina. Read nummerdatakse V baasiindeksiga  , veerud W baasiindeksiga  . Kahe vektori   korrutis on maatriks, mille element kohal (i,j) on vektori v i-nda koordinaadi ja vektori w j-nda koordinaadi korrutis. Veerud on v kordsed, read on w kordsed. (Maatriksite keeles nimetatakse seda konstruktsiooni ka düaadiliseks korrutiseks.)