Schwarzschildi meetrika

Schwarzschildi meetrika (ka Schwarzschildi lahend) on Einsteini väljavõrrandite täpne lahend üldrelatiivsusteoorias. See kirjeldab gravitatsioonivälja, mis ümbritseb vaakumis paiknevat sfäärilist massijaotust, millel puudub elektrilaeng ja impulsimoment, eeldusel, et kosmoloogilise konstandi väärtus on null. See lahend lähendab hästi aeglaselt pöörlevate kehade, nagu planeedid ja tähed, gravitatsioonivälja. Selle leidis 1916. aastal Karl Schwarzschild ja mõned kuud hiljem sõltumatult Johannes Droste. Birkhoffi teoreemi järgi on Schwarzschildi meetrika Einsteini väljavõrrandite kõige üldisem sfääriliselt sümmeetriline vaakumlahend.

Schwarzschildi must auk on must auk, mida kirjeldab Schwarzschildi meetrika. Vastavalt Birkhoffi teoreemile on iga must auk, millel puudub elektrilaeng ja impulsimoment, Schwarzschildi must auk. Kuna viimase ainsaks füüsikaliseks parameetriks on mass, siis on sama massiga (mittepöörlevad ja mittelaetud) mustad augud teineteisest eristamatud. Schwarzschildi musta auku ümbritseb sündmuste horisont, mille asukoht on antud Schwarzschildi raadiusega. Viimane määrab ühtlasi musta augu suuruse. Sündmuste horisont pole füüsiline pind ning musta auku vabalt langev vaatleja ei märkaks sündmuste horisonti läbides midagi erilist (kui järk-järgult kasvavad loodelised jõud välja arvata). Kuna sündmuste horisondi tagant välise vaatlejani informatsiooni ei jõua, siis on igasugune paigalseisev ja mittelaetud massijaotus, mis on väiksem oma Schwarzschildi raadiusest, Schwarzschildi must auk.

Schwarzschildi must auk võib omada suvaliselt suurt massi. Matemaatiliselt on lubatud ka negatiivse massiga lahendid, mis kirjeldavad valget auku.

Schwarzschildi meetrika muuda

Schwarzschildi meetrika on sfäärliselt sümmeetriline aegruum, mis on defineeritud muutkonnal

\mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}

kus $E^{3}$ on kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ja $S^{2}\subset E^{3}$ on kahemõõtmeline sfäär. Sfäärlisele sümmeetriale vastav ortogonaalne rühm $SO(3)=SO(E^{3})$ pöörab tegureid $E^{3}-O$ või $S^{2}$ ümber alguspunkti $O$ jättes esimese teguri, $\mathbb {R}$ , muutumatuks. Schwarzschildi lahend rahuldab Einsteini väljavõrrandeid vaakumis ning kehtib seega vaid väljaspool graviteeruvat keha. See on väline lahend. Keha sisese gravitatsioonivälja leidmiseks tuleb leida sobiv sisemine lahend, mis on omakorda vaja keha pinnal välise lahendiga kokku sobitada.^[1].

Schwarzschildi koordinaatides $(t,r,\theta ,\phi )$ on Schwarzschildi meetrika (või samaväärselt omaaja joonelement) antud järgmise avaldisega

g=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega },

kus $g_{\Omega }$ on kahemõõtmelise sfääri meetrika, $g_{\Omega }=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$ , ning

$d\tau ^{2}$ on ajasarnaste trajektooride korral positiivne ning $\tau$ on mööda seda trajektoori liikuva vaatleja omaaeg,
$c$ on valguse kiirus,
$t$ on ajakoordinaat (vastab ajale mõõdetuna mustast august lõputult kaugel asuva vaatleja poolt),
$r$ on radiaalkoordinaat (see vastab musta auku ümbritseva sfääri ümbermõõdule, mis on jagatud by $2\pi$ 'ga, kuid, kuna ruum on kõver, siis mitte kaugusele sfääri keskpunktist),
$\Omega$ on punkt sfääril $S^{2}$ ,
$\theta$ on laiuskraad,
$\phi$ on pikkuskraad,
$r_{s}$ on keha Schwarzschildi raadius; lahendi ainus parameeter, mis on seotud keha massiga $M$ kui $r_{s}=2GM/c^{2}$ , kus $G$ on gravitatsioonikonstant.

Schwarzschildi meetrika on singulaarne kui $r=0$ . See singulaarsus on füüsikaline, kuna Riemanni tensorist moodustatud skalaarsed invariandid, nagu Kretschmanni skalaar, on selles punktis singulaarsed. Ülalantud meetrika näib olevat singulaarne ka sündmuste horisondil, kui $r=r_{s}$ , kuid see singulaarsus on kõrvaldatav sobiva koordinaatide valikuga (vt allpool) ent pole seega füüsikaline. Schwarzschildi meetrika on Schwarzschildi koordinaatides defineeritud järelikult kas seespool või väljaspool sündmuste horisonti. Kui $r\gg r_{s}$ , siis läheneb Schwarzschildi meetrika asümptootiliselt tasase aegruumi Lorentzi meetrikale. Enamiku taevakehade Schwarzschildi raadius on mitu suurusjärku väiksem nende raadiusest, näiteks Maa on Schwarzschildi raadius 9 mm ja Päikesel 3 km.

Alternatiivsed koordinaadisüsteemid muuda

Schwarzschildi meetrikat saab esitada erinevates koordinaadisüsteemides. Sobiv koordinaatide valik võimaldab esile tuua lahendi erinevaid omadusi. Järgnevalt on ära toodud mõned enam kasutatavad koordinaadisüsteemid.

Alternatiivsed koordinaadisüsteemid^[2]
Koordinaadisüsteem	Joonelement	Märkused	Omadused
Eddingtoni–Finkelsteini koordinaadid (sisenevad)	$-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}\,g_{\Omega }$		Regulaarne tuleviku horisondil --mineviku horisondi asukoht on $v=-\infty$
Eddingtoni–Finkelsteini koordinaadid (väljuvad)	$-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}g_{\Omega }$		Regulaarne mineviku horisondil. Laieneb läbi mineviku horisondi. Tuleviku horisondi asukoht on $u=\infty$
Gullstrandi–Painlevé'i koordinaadid	$-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr+dr^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }$		Regulaarne (+ tuleviku/-mineviku) horisondil.
Isotroopsed koordinaadid	$-{\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}+\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)$	$R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ^[3] Kehtib vaid väljaspool sündmuste horisonti: $R>r_{s}/4$	Isotroopsed valguskoonused igal ajahetkel.
Kruskali–Szekeresi koordinaadid	$-{\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)+r^{2}\,g_{\Omega }$	$T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}$	Regulaarne horisondil. Võimaldab aegruumi maksimaalselt laiendada.
Lemaître koordinaadid	$-dT^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }$	$r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}$	Regulaarne tuleviku/mineviku horisondil.

Ülalantud tabelis on kasutatud naturaalseid ühikuid - valguse kiirus on võetud võrdseks ühega. $g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$ on kahemõõtmelise sfääri meetrika. Erinevates lahtrites tähistavad $R$ ja $T$ erinevaid koordinaate.

Vaata ka muuda

Viited muuda

↑ Frolov, Valeri; Zelnikov, Andrei (2011). Introduction to Black Hole Physics. Oxford. Lk 168. ISBN 0-19-969229-7.
↑ Ni, Wei-Tou (toim). One Hundred Years of General Relativity: From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity. Kd 1. World Scientific. Lk I-126.
↑ Eddington, A. S. (1924). The Mathematical Theory of Relativity (2nd ed.). Cambridge University Press. Lk 93.

[1] Frolov, Valeri; Zelnikov, Andrei (2011). Introduction to Black Hole Physics. Oxford. Lk 168. ISBN 0-19-969229-7.

[2] Ni, Wei-Tou (toim). One Hundred Years of General Relativity: From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity. Kd 1. World Scientific. Lk I-126.

[eddntn1923-3] Eddington, A. S. (1924). The Mathematical Theory of Relativity (2nd ed.). Cambridge University Press. Lk 93.

[1]

[2]

[3]