Impulsimoment

Impulsimoment ehk pöördeimpulss ehk liikumishulga moment on mehaanikas dünaamiline suurus, mis on seotud pöördliikumisega.

Impulsimomendi tähis on $L$ ja mõõtühik njuutonmeetersekund (n·m·s).

Punktmassi impulsimoment

Punktmassi impulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \,,$

kus r on osakese kohavektor, v kiiruse vektor, m mass ja p = mv impulss. × tähistab vektorkorrutist. Impulsimoment fikseeritud punkti r₀ suhtes on

$\mathbf {L} =(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\times \mathbf {p} \,.$

Näiteks nurkkiirusega ω piki ringjoont raadiusega r tiirleva punktmassi impulsimomendi moodul on

$L=mr^{2}\omega .\,$

Osakeste süsteemi impulsimoment

Paljudest osakestest koosneva süsteemi koguimpulsimoment on osakeste impulsimomentide summa:

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\,,$

kus r_i on i-nda osakese kohavektor, v_i selle kiirus ja m_i selle mass. (Σ_i tähistab summat üle kõigi osakeste.)

Impulsimoment ja massikese

Osakeste süsteemi jaoks on tihti otstarbekas vaadleda impulsimomenti süsteemi massikeskme

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

suhtes, kus

$M=\sum _{i}m_{i}.\,$

tähistab süsteemi kogumassi. Nende suuruste abil saab süsteemi impulsimomendi jagada kahte ossa

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{0}+\mathbf {R} \times M\mathbf {V} \,,$

kus V = dR/dt on massikeskme liikumise kiirus ja

$\mathbf {L} _{0}=\sum _{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} )\,,$

on impulsimoment taustsüsteemis, kus massikese on paigal, ent kirjeldab seega süsteemi "sisemist" impulsimomenti. Suurus R × M V kirjeldab aga massikeskme liikumisest tingitud impulsimomenti.

Jäiga keha impulsimoment

Nurkkiirusega ω ümber oma sümmeetriatelje pöörleva jäiga keha impulsimoment on

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,.$

kus I on keha inertsimoment vaadeldava sümmeetriatelje suhtes.

Impulsimomendi jäävus

Kui osakesele mõjub jõud F, siis on impulsimomendi muutumise kiirus võrdne jõumomendiga M = r × F:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} .$

Osakeste süsteemi koguimpulsimoment on võrdne süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {M} _{i}.$

Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv – viimane väide väljendab impulsimomendi jäävuse seadust.

Tuginedes Noetheri teoreemile saab impulsimomendi jäävuse järeldada ruumi isotroopsusest, st asjaolust, et ruum on igas suunas ühesugune.

Impulsimoment relatiivsusteoorias

Relatiivsusteoorias kirjeldab impulsimomenti impulsimomendi 2-vorm r ∧ p, kus r on osakese kohavektor aegruumis ja p on energia-impulsi 4-vektor ning ∧ tähistab väliskorrutist. Et impulsimoment on Noetheri teoreemi kaudu seotud ruumi isotroopsusega, siis pole see kõverates aegruumides üldjuhul jääv.

Impulsimoment kvantmehaanikas

Kvantmehaanikas saab impulsimoment võtta vaid diskreetseid väärtuseid, mis on taandatud Plancki konstandi $\hbar$ poolarv kordsed. Samuti pole impulsimomendi suund kvantmehaanikas määratud – kvantsüsteemi jaoks saab korraga täpselt määratud olla vaid impulsimomendi projektsioon ühele fikseeritud teljele.

Kvantmehaanikas kirjeldatakse vaadeldavaid suurusi olekuvektoritele mõjuvate operaatorite abil. Orbitaalset impulsimomenti kirjeldab impulsimomendi operaator

${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,,$

mis on koordinaatesituses kujul

${\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,$

kus $\nabla$ on nabla-operaator. Orbitaalne impulsimomendi (projektsiooni) väärtused saavad olla vaid $\hbar$ täisarv kordsed.

Lisaks viimasele võib osake omada ka sisemist impulsimomenti ehk spinni, mille väärtused võivad olla $\hbar$ poolarv kordsed. Spinni kirjeldatakse vastava spinni operaatorga S. Spinniga osakese koguimpulssi kirjeldab operaator

${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}\,.$

Impulsimomendi operaatori komponentide vahel kehtivad kanoonilised kommutatsiooniseosed

$[{\hat {J}}_{l},{\hat {J}}_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}{\hat {J}}_{n}\,,$

kus ε_lmn on (täielikult antisümmeetriline) Levi-Civita sümbol ja $[X,Y]=XY-YX$ on kommutaator. Neid seoseid rahuldavad eraldi ka L ja S komponendid.

Vaata ka

• Pöördliikumise energia
• Spinn