Ava peamenüü

Võreteoorias nimetatakse ülemiseks poolvõreks (ka supreemum-poolvõreks või sup-poolvõreks) osaliselt järjestatud mittetühja hulka, milles igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub supreemum ehk ülemine raja[1] (tähistatakse sageli sümboliga 1). Duaalselt saab defineerida alumise poolvõre (infiimum-poolvõre või inf-poolvõre) kui hulga, mille igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub alumine raja (tihti tähistatud sümboliga 0).

Poolvõresid on võimalik defineerida ka algebraliselt[1][2]: poolvõre on algebra , millel defineeritud binaarne tehe , mille rollis on parajasti kas supreemumi (∨) või infiimumi (∧) võtmine, rahuldab mistahes elementide korral järgmiseid tingimusi:

(assotsiatiivsus),

(kommutatiivsus),

(idempotentsus).

Kasutades algebralisi struktuure, saab poolvõre defineerida kui poolrühma, mis rahuldab kommutatiivsuse ja idempotentsuse omadusi.[2]

Tasub märkida, et ülaltoodud definitsioonid on samaväärsed, see tähendab, et olenevalt olukorrast võib kasutada nii hulgateoreetilist kui algebralist definitsiooni.[3]

Kui hulk on ühe ja sama järjestuse suhtes korraga nii ülemine kui alumine poolvõre[4] (hulgateoreetiline definitsioon) või kui selles hulgas kehtivad ülaltoodud binaarsed tehted mainitud tingimustega ja neelduvusseadustega ja [3] (algebraline definitsioon), siis nimetatakse seda hulka võreks.

OmadusedRedigeeri

Poolvõresid   ja   nimetatakse isomorfseteks, kui leiduvad järjestust säilitavad kujutused    ja    nii, et nende kujutuste järjestrakendamisel saame ühikelemendi, ehk   ja  .[3]

Alljärgnevad omadused on sõnastatud ülemiste poolvõrede jaoks ning duaalsusprintsiibi abil ka alumiste poolvõrede jaoks. Duaalsusprintsiip väidab, et kui mingi väide   kehtib kõigi osaliselt järjestatud hulkade korral, siis ka väide   kehtib kõigi järjestatud hulkade korral, kus viimase tähistuse all mõeldakse kirjutist, kus kõik esialgsed tehted on asendatud vastupidistega (  jne).[3]

  • Kui meil on kaks ülemist poolvõret   ja  , siis on nende vahel võimalik leida sup-homomorfism  , mis on defineeritud järgnevalt:

 .[3]

Duaalselt: kahe alumise poolvõre vahel on võimalik leida inf-homomorfism   seosega

 

  • Igas poolvõres on võimalik leida alampoolvõre:

kui   on ülemine poolvõre, siis alamhulka   nimetatakse ülemiseks alampoolvõreks, kui mistahes   korral ka   .[3]

Duaalselt: kui   on alumine poolvõre, siis alamhulka   nimetatakse alumiseks alampoolvõreks, kui mistahes   korral ka   .

  • Ülemise poolvõre   ideaaliks nimetatakse hulka   parajasti siis, kui

  ja  [3],

ning alumise poolvõre   ideaaliks hulka   parajasti siis, kui

 ja  .

  • Ülemist poolvõret nimetatakse tõkestatuks, kui tal leidub vähim element. Mistahes lõplik poolvõre on tõkestatud. Alumist poolvõret nimetatakse tõkestatuks, kui tal leidub suurim element.

NäitedRedigeeri

  • Täielikult järjestatud hulk on võre, seega samaaegselt ülemine ja alumine poolvõre. Näiteks poolvõre ( ) ei ole täielik.[5]
  • Kõik ahelad on poolvõred.[5] Näiteks naturaalarvude hulk   on inf-poolvõre.
  • Poolvõred on   (teemant) ja   (pentagon).[5]

ViitedRedigeeri

  1. 1,0 1,1 Grätzer, George (2011). Lattice Theory: Foundation. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-0017-4. 
  2. 2,0 2,1 Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra (trükk: The Millennium Edition). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Valdis Laan, Ülo Reimaa. "Võreteooria loengukonspekt". (2017).
  4. "Semilattice". nLab. Vaadatud 27.04.2018.
  5. 5,0 5,1 5,2 Kaarli, Kalle (1989). Sissejuhatus universaalalgebrasse. Tartu Riiklik Ülikool, algebra ja geomeetria kateeder. 

See artikkel on täielikult või osaliselt tõlgitud artikli(te)st Semilattice sellest versioonist.