Võre (matemaatika)

Võre on matemaatikas osaliselt järjestatud hulk, milles igal lõplikul mittetühjal alamhulgal on ülemraja (vähim ülemtõke) ja alamraja (suurim alamtõke). Termin "võre" tuleneb selliste osaliselt järjestatud hulkade Hasse diagrammide kujust.

Algebraline definitsioon

Võret saab defineerida ka algebraliselt. Võre on hulk L koos kahe binaarse tehtega ^ ja v, nii et hulga L mis tahes elementide a, b ja c korral

a v a = a	a ^ a = a	idempotentsuse seadused
a v b = b v a	a ^ b = b ^ a	kommutatiivsuse seadused
a v (b v c) = (a v b) v c	a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c	assotsiatiivsuse seadused
a v (a ^ b) = a	a ^ (a v b) = a	neelduvuse seadused

(Idempotentsusseadused on võimalik neelduvuse seadustest tuletada ning seetõttu võib nad põhimõtteliselt ka mainimata jätta.)

Kui need tehted rahuldavad neid algebralisi reegleid, siis saab osalise järjestuse ≤ hulgal L defineerida järgmise reegli abil: a ≤ b siis ja ainult siis, kui a v b = b (ehk a ^ b = a). Siis on hulk L koos niiviisi defineeritud osalise järjestusega ≤ ülaltoodud hulgateoreetilises mõttes võre.

Ümberpöördult, kui on antud osalise järjestuse kaudu defineeritud võre (L, ≤) ning me märgime hulga {a, b} ülemraja a v b ja alamraja a ^ b, siis (L, v, ^) rahuldab kõiki algebraliselt defineeritud võre aksioome.

Homomorfismid

Kõikide võrede klass moodustab kategooria, kui me defineerime homomorfismi võrest (L, ^, v) võresse (N, ∩, ∪) funktsioonina f : L → N, mille korral

f(a ^ b) = f(a) ∩ f(b)

f(a v b) = f(a) ∪ f(b)

for all a, b in L. Kui homomorfism on bijektiivne, siis ka tema pöördkujutus on homomorfism, ning sel juhul nimetatakse neid homomorfisme võrede isomorfismideks. Võresid, mille vahel on isomorfism, nimetatakse isomorfseteks. Isomorfsed võred on praktikas identsed, kuigi nende elemendid on üldjuhul erinevad.

Iga homomorfism on monotoonne kujutus (monotoonne funktsioon) ühest võrest teise, kuid iga monotoonne kujutus ei ole veel võrede homomorfism. Et monotoonne kujutus oleks homomorfism, peab ta olema ühitatav ka lõplike hulkade ülem- ja alamrajadega.

Võrede omadused, näited

Võret nimetatakse tõkestatud võreks, kui tal leidub suurim element ja vähim element. Suurima elemendi tähiseks on sageli 1 ja vähima elemendi tähiseks 0. Kui x on tõkestatud võre element, siis võre mis tahes elementi y, mis rahuldab tingimusi x ^ y = 0 ja x v y = 1, nimetatakse elemendi x täiendiks. Tõkestatud võret, milles igal elemendil on (mitte tingimata ainus) täiend, nimetatakse täienditega võreks.