Päratu integraal

Olgu funktsioon $\ f(x)$ määratud ja pidev piirkonnas $[a,\infty ),$ siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas $[a,\infty )$ nimetatakse piirväärtust

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub.

Näide

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\arctan x{\Big |}_{0}^{b}=\lim _{b\to +\infty }(\arctan b-\arctan 0)={\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}.$

Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2.

Päratu integraal teiste lõpmatute vahemike korral

Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas $(-\infty ,b]:$

$\int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Vahemikus $(-\infty ,+\infty )$ defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust):

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{\infty }f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)dx+\lim _{b\to +\infty }\int _{c}^{b}f(x)dx,$

kus $\ c$ on suvaliselt valitud arv.

Päratu integraali geomeetriline tähendus

Kui piirkonnas $[a,\infty )$ on funktsiooni $\ f(x)$ graafik x-telje kohal ($f(x)>0$), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni $\ f(x)$ graafik.

Funktsiooni $f(x)=1/(1+x^{2})$ graafik

Näide

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ graafik. Eespool selgus, et

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.$

Seega

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\arctan x{\Big |}_{a}^{0}+{\frac {\pi }{2}}=0-(-{\frac {\pi }{2}})+{\frac {\pi }{2}}=\pi .$

Vaata ka

• Määramata integraal