Murdjoon

Murdjoon on elementaargeomeetrias kujund, mis koosneb otspunkte pidi järjestikku ühendatud lõikudest.

Lahtine murdjoon A₁A₂A₃A₄A₅A₆. Sellel on 6 tippu ja 5 lüli

Murdjoon on lõikudest koosnev kujund, milles iga lõik on iga otspunkti kaudu ühendatud ülimalt ühe lõiguga ning kõik lõigud on omavahel otseselt või teiste lõikude kaudu ühenduses. Kui viimane tingimus ei ole täidetud, siis on tegu mitme murdjoonega.

Murdjoone mõiste on üldistatud reaalarvuliste kordajatega vektorruumidele.

Murdjoone mõistet rakendatakse muu hulgas geomeetrias, arvutusmatemaatikas, topoloogias, matemaatilises analüüsis, kompleksmuutuja funktsioonide teoorias, arvutigraafikas ja geodeesias.

Murdjooned Eukleidese ruumis

Definitsioon

Murdjooneks $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ nimetatakse kujundit, mis koosneb lõikudest $[A_{1}A_{2}]$, $[A_{2}A_{3}]$, …, $[A_{n-1}A_{n}]$.

Punkte $A_{1}$, …$A_{n}$ nimetatakse murdjoone tippudeks ja lõike $[A_{1}A_{2}]$, $[A_{2}A_{3}]$, …, $[A_{n-1}A_{n}]$ murdjoone lülideks.

Murdjoonte tüübid

Mittekõdunud ja kõdunud murdjooned

• Murdjoont nimetatakse mittekõdunuks, kui mis tahes $k\in \{1,2,\dots ,n-2\}$ puhul lõigud $[A_{k}A_{k+1}]$ и $[A_{k+1}A_{k+2}]$ ei asetse ühel sirgel;

vastasel korral nimetatakse seda kõdunuks.

Tasandilised murdjooned

Murdjoon on tasandiline, kui see asetseb tervikuna ühel tasandil.

Ennast lõikavad ja lihtsad murdjooned

Murdjoon on ennast lõikav, kui sellel lеidub kaks lüli, millel on ühine punkt, mis ei ole nende ühine tipp:

Ennast lõikav murdjoon

Siin kujutatud murdjoont tuleb nimetada murdjooneks A₁A₂A₃A₄A₅A₆.

Murdjoont, mis ei ole ennast lõikav, nimetatakse lihtsaks.

Kinnised ja lahtised murdjooned

Murdjoont nimetatakse kinniseks, kui selle esimene ja viimane punkt langevad kokku ning lõigud $A_{1}A_{2}$ ja $A_{n-1}A_{n}$ ei asetse ühel sirgel:

Kinnine murdjoon. Sellel on 5 tippu ja 5 lüli

Kinnisel murdjoonel on iga lüli kummastki otsast seotud teise lüliga. N lülist koosneval kinnisel murdjoonel on N tippu.

Kinnist tasandilist murdjoont (või kujundit, mille äär on kinnine tasandiline murdjoon) nimetatakse hulknurgaks.: sel juhul nimetatakse kujutatud murdjoont A₁A₂A₃A₄A₅A₁ hulknurgaks A₁A₂A₃A₄A₅ ning selle lülisid hulknurga külgedeks. Mõnikord, näiteks hulktahukate käsitlemisel, nimetatakse hulknurga külgi servadeks.

Murdjoont, mille esimene ja viimane punkt on erinevad, nimetatakse lahtiseks. Lahtisel murdjoonel on kaks vaba otspunkti. N lülist koosneval lahtisel murdjoonel on N+1 tippu.

Rakendused

Murdjooni rakendatakse näiteks andmepunktide interpoleerimisel, harilike diferentsiaalvõrrandite numbrilisel lahendamisel Euleri meetodil ning modelleerimisel arvutigraafikas ja raalprojekteerimises.