Moodul (algebra)

algebra
Disambig gray.svg  See artikkel räägib moodulitest üle ringide üldse; sageli mõeldakse mooduli all unitaarset moodulit.

Mooduliks üle ringi nimetatakse üldalgebras vektorruumi üldistust, mille puhul "skalaarideks" ei võeta mitte korpuse, vaid ringi elemendid.

Moodul on ka Abeli rühma üldistus, sest Abeli rühm on moodul üle täisarvude ringi .

Moodulitel on tihe seos rühmade esituste teooriaga. Neil on keskne koht kommutatiivses algebras ja homoloogilises algebras ning nad on laialt kasutusel algebralises geomeetrias ja algebralises topoloogias.

DefinitsioonRedigeeri

Olgu   mis tahes (mitte tingimata kommutatiivne) ring. Tavaliselt eeldatakse, et ring on assotsiatiivne.

Üldjuhul eristatakse vasakpoolseid ja parempoolseid R-mooduleid.

Vasakpoolne  -moodul on Abeli rühm   koos kujutusega

 [1]

mille puhul mis tahes elementide   korral tingimused

1)  
2)  
3)  

Parempoolne  -moodul on Abeli rühm   koos kujutusega

 

mille puhul mis tahes   korral tingimused

1)  
2)  
3a)  

Mis tahes parempoolset  -moodulit saab vaadelda vasakpoolse R0-moodulina üle ringi R0, mis on antiisomorfne ringiga   (ja ümberpöördult). Seetõttu võib üldisust kaotamata piirduda kas vasakpoolsete või parempoolsete  -moodulitega (erinevust võib vaadelda tähistusviisi erinevusena).

Kui ring   on kommutatiivne, siis taandub erinevus vasakpoolse ja parempoolse R-mooduli vahel täielikult kirjutusviisile, mistõttu räägitakse lihtsalt  -moodulist.

Unitaarsed moodulidRedigeeri

  Pikemalt artiklis Unitaarne moodul

Kui   on ühikelemendiga assotsiatiivne ring (mida enamasti eeldatakse), siis sageli lisatakse veel üks tingimus:

4)   (vasakpoolse mooduli korral)

või

4a)   (vasakpoolse mooduli korral), kus   on ringi   ühikelement.

Kui see tingimus on täidetud, siis on tegemist vastavalt vasakpoolse või parempoolse unitaarse  -mooduliga.

AjaluguRedigeeri

Moodulite teooria arenes välja ringiteooria üldistusena rühmade esituste teooriast, ringide esituste teooriast ja algebrate esituste teooriast.

Algselt uuriti ideaale, mis lõpuks üldistati mooduliteks.

Vaata kaRedigeeri

MärkusedRedigeeri

  1. Siin – nagu matemaatilises kirjanduses tavaline – langeb see tähistus kokku korrutamistehte tähistusega ringis  .

VälislingidRedigeeri