Ava peamenüü

Kategooria (matemaatika)

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest tingimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised.

Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945).

DefinitsioonRedigeeri

Formaalselt koosneb iga kategooria   kahest klassist:

  • klassist  , mille elemente nimetame kategooria   objektideks
  • klassist  , mille elemente nimetame kategooria   morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused:
    • igale kahe objekti A, B järjestatud paarile   on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass   (seda tähistatakse mõnikord ka  ,   või  ). Kui  , siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti B tema lõpuks; mõnikord kirjutame   asemel  ,
    • iga morfism f kuulub ainult ühte klassi  ,
    • klassis   on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide  ,   korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi  . Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame   või gf.
    • morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui  ,   ja  , siis  ,
    • igase klassi   kuulub niisugune morfism idA, et mis tahes morfismide   ja   korral   ja  . Morfisme idA nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks.

Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism.

Kui  , siis kirjutame   ja  .

Väikesed ja lokaalselt väikesed kategooriadRedigeeri

Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed.

Kui iga kahe objekti   korral on klass   hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks.

Vaata kaRedigeeri

KirjandusRedigeeri