Kategooriateooria

Kategooriateooria on valdkond matemaatikas, mis kirjeldab matemaatilisi struktuure ja nende seoseid. Valdkond loodi 20. sajandi keskel Samuel Eilenbergi ja Saunders Mac Lane'i poolt seoses nende tööga algebralise topoloogia teemal. Kategooriateooriat kasutatakse peaaegu igal pool matemaatikas. Paljud konstruktsioonid uutest matemaatilistest objektidest, mis on loodud olemasolevate objektide põhjal, on võimalik kirjeldada läbi kategooriate. Paljud valdkonnad informaatikas tuginevad kategooriateooriale, sealhulgas funktsionaalne programmeerimine ja semantika.

Skeem kategooriast objektidega X, Y ja Z, ning morfismidega f, g, g ∘ f. Kujutatud ei ole kategooria kolme identiteedimorfismi, 1_X, 1_Y ja 1_Z, mis oleksid kolm noolt igast objektist tagasi samasse objekti.

Kategooria koosneb kahte sorti elementidest: objektidest ja morfismidest, mis seovad kahte objekti, mida kutsutakse morfismi allikaks ja sihtmärgiks. Võib öelda, et morfism on nool, mis seostab allika sihtmärgiga. Morfisme on võimalik komponeerida, kui esimese morfismi sihtmärk on teise morfismi allikas, ning morfismide kompositsioon sarnaneb funktsioonide kompositsiooniga (assotsiatiivsuse ja identiteedimorfismide olemasolu tõttu). Morfism on sageli mingisugune funktsioon, aga mitte alati. Näiteks võib monoidi käsitleda kui kategooriat üheainsa objektiga, mille morfismid on monoidi elemendid.

Teine tähtis osa kategooriateooriast on mõiste funktorist, mis on morfism kategooriate $C_{1}$ ja $C_{2}$ vahel: see teisendab objektid kategooriast $C_{1}$ kategooriasse $C_{2}$ ning morfismid kategoorias $C_{1}$ kategooriasse $C_{2}$ nii, et allikad seostatakse allikatega ja sihtmärgid sihtmärkidega. Kolmas mõiste kategooriateoorias on naturaalne transformatsioon, mida võib käsitleda kui morfismi funktorite vahel.

Kategooriateooria on väga üldine matemaatika osa, mida kasutatakse näiteks hulgateooria ja rühmateooria formaliseerimisel. Tartu Ülikoolis õpetab kategooriateooriat Varmo Vene.

Vaata ka

• homomorfism
• isomorfism

Välislingid

• Sissejuhatus kategooriateooriasse (inglise keeles)