Kahe muutuja funktsioon

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad $X$, $Y$ ja $Z$ nii, et

$\,f\colon X\times Y\rightarrow Z\quad {\mbox{ ehk }}\quad f(x,y)=z\quad x\in X\quad y\in Y\quad z\in Z$

kus $X$ × $Y$ on $X$ ja $Y$ otsekorrutis.

Näiteks, kui $\mathbb {Z}$ on täisarvude hulk ja $\mathbb {N} ^{+}$ on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis $\mathbb {Q}$ on ratsionaalarvude hulk nii, et

$\mathbb {Q} =\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,\quad n\in \mathbb {N^{+}} \}$

ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis $m/n$. Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga $\mathbb {Q}$ suhtes.

Kahe reaalmuutuja funktsioon

Hulgal $D$ on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast $D$ on mingi eeskirja$\ f$ abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv$\ z$ ning seda märgitakse nii:

$z=f(x,y),\quad (x,y)\in D\quad {\mbox{ehk }}\quad z=f(P),\quad P\in D$

kus

• x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid;
• z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja;
• $D$ on funktsiooni ƒ määramispiirkond.

Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on $Z=\{z|z=f(x,y);\quad (x,y)\in D\}.$

Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkond

Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.

Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.

Näide

Kahe muutuja funktsiooni

$f(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}$

määramispiirkond on $1-x^{2}-y^{2}$ ≥ 0 ehk $x^{2}+y^{2}$ ≤ 1 .

Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt $P=(x;y)$ nii, et $x^{2}+y^{2}$ ≤ 1 .

Funktsiooni

$\ f(x,y)=\ln(x+y)$

määramispiirkond on $x+y$ > 0 ehk $y$ > $-x$. Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest $y=-x$ üles.

Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletised

Kahe muutuja funktsiooni $z=f(x,y)$ osamuut $x$ järgi: $\ \Delta _{x}z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y).$

Kahe muutuja funktsiooni $z=f(x,y)$ osamuut $y$ järgi: $\ \Delta _{y}z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y).$

Kahe muutuja funktsiooni $z=f(x,y)$ täismuut: $\ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y).$

Üldjuhul $\ \Delta z\neq \Delta _{x}z+\Delta _{y}z.$

Funktsiooni $z=f(x,y)$ osatuletiseks $x$ järgi nimetatakse vastava osamuudu $\ \Delta _{x}z$ ja muudu $\ \Delta x$ suhte piirväärtust $\ \Delta x$ lähenemisel nullile:

$z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta _{x}z}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}.$

Funktsiooni $z=f(x,y)$ osatuletis $y$ järgi on seega

$z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}=\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta _{y}z}{\Delta y}}=\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}.$

II järku osatuletis $x$ järgi: $z_{xx}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}.$

II järku osatuletis $y$ järgi: $z_{yy}={\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}.$

II järku segatuletised $x$ ja $y$ järgi: $z_{xy}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial z_{x}}{\partial y}}\quad {\mbox{ja}}\quad z_{yx}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial z_{y}}{\partial x}}.$

Näide

Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r :

$V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.$

Funktsiooni V osatuletis r järgi on

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},$

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on

${\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},$

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.

Teoreem segatuletistest

Kui funktsioon $z=f(x,y)$ ja tema osatuletised $z_{x},\quad z_{y},\quad z_{xy}\quad ja\quad z_{yx}$ on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}$

Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumid

Kahe muutuja funktsioonil $z=f(x,y)$ on punktis $P_{0}(x_{0},y_{0})$ lokaalne maksimum, kui $\ f(x_{0},y_{0})>f(x,y)$ kõigi punktile $P_{0}$ küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide $(x,y)$ korral.

Kahe muutuja funktsioonil $z=f(x,y)$ on punktis $P_{0}(x_{0},y_{0})$ lokaalne miinimum, kui $\ f(x_{0},y_{0})<f(x,y)$ kõigi punktile $P_{0}$ küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide $(x,y)$ korral.

Näide

Funktsioonil $z=f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-1$ on miinimum punktis $P_{0}(1;2),$ kuna

$\ f(1;2)=-1$ ning $(x-1)^{2}>0$, kui x≠1 ja $(y-2)^{2}>0$, kui y≠2 ja seetõttu $(x;y)$ ≠ $(1;2)$ , siis $f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-1>-1=f(1;2)$.

Ekstreemumi piisavad tingimused

$A:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\quad B:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},\quad C:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}$ on funktsiooni $z=f(x,y)$ teist järku tuletised punktis $P_{0}(x_{0},y_{0})$.

Olgu mingis punktis $P_{0}(x_{0},y_{0})$ funktsiooni $f(x,y)$ osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt $P_{0}(x_{0},y_{0})$ funktsiooni $f(x,y)$ statsionaarne punkt, s.t.

${\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=0.$

Siis punktis $P_{0}(x_{0},y_{0})$ :

• on funktsioonil $f(x,y)$ lokaalne maksimum, kui $AB-C^{2}>0$ ja $A<0$;
• on funktsioonil $f(x,y)$ lokaalne miinimum, kui $AB-C^{2}>0$ ja $A>0$;
• ei ole funktsioonil $f(x,y)$ ei maksimumi ega miinimumi, kui $AB-C^{2}<0$;
• küsimus jääb lahtiseks kui $AB-C^{2}=0$.

Näide

Funktsiooni $z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y$ lokaalsete ekstreemumite leidmine.

Esimest järku osatuletised on ${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x-y+3,\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=-x+2y-2.$

Võrrandisüsteemi ${\begin{cases}2x-y+3=0\\-x+2y-2=0\end{cases}}$ lahendid on $x=-{\frac {4}{3}};\quad y={\frac {1}{3}}.$

Seega on funktsiooni $z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y$ statsionaarseks punktiks $P_{0}{\Big (}-{\frac {4}{3}};{\frac {1}{3}}{\Big )}.$

Teist järku tuletised selles punktis on $A={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=2,\quad B={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=2,\quad C={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=-1.$

$AB-C^{2}=2\cdot 2-(-1)^{2}=4-1=3$

Kuna $AB-C^{2}>0$ ja $A>0$ siis on punkt $P_{0}{\Big (}-{\frac {4}{3}};{\frac {1}{3}}{\Big )}$ funktsiooni $z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y$ miinimumpunkt.

Funktsiooni $z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y$ lokaalseks miinimumiks on $z_{min}=-{\frac {4}{3}}.$

Vaata ka

• Mitme muutuja funktsioon
• Osatuletise võtmise operaator
• Kompleksmuutuja funktsioon