Ava peamenüü

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad , ja nii, et

kus × on ja otsekorrutis.

Näiteks, kui on täisarvude hulk ja on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis on ratsionaalarvude hulk nii, et

ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis . Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga suhtes.

Kahe reaalmuutuja funktsioonRedigeeri

Hulgal   on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast   on mingi eeskirja  abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv  ning seda märgitakse nii:

 

kus

  • x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid;
  • z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja;
  •   on funktsiooni ƒ määramispiirkond.

Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on  

Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkondRedigeeri

Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.

Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.

NäideRedigeeri

Kahe muutuja funktsiooni

 

määramispiirkond on   ≥ 0 ehk   ≤ 1 .

Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt   nii, et   ≤ 1 .

Funktsiooni

 

määramispiirkond on   > 0 ehk   >  . Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest   üles.

Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletisedRedigeeri

Kahe muutuja funktsiooni   osamuut   järgi:  

Kahe muutuja funktsiooni   osamuut   järgi:  

Kahe muutuja funktsiooni   täismuut:  

Üldjuhul  

Funktsiooni   osatuletiseks   järgi nimetatakse vastava osamuudu   ja muudu   suhte piirväärtust   lähenemisel nullile:

 

Funktsiooni   osatuletis   järgi on seega

 

II järku osatuletis   järgi:  

II järku osatuletis   järgi:  

II järku segatuletised   ja   järgi:  

NäideRedigeeri

Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r :

 

Funktsiooni V osatuletis r järgi on

 

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on

 

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.

Teoreem segatuletistestRedigeeri

Kui funktsioon   ja tema osatuletised   on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis

 

Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumidRedigeeri

Kahe muutuja funktsioonil   on punktis   lokaalne maksimum, kui   kõigi punktile   küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide   korral.

Kahe muutuja funktsioonil   on punktis   lokaalne miinimum, kui   kõigi punktile   küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide   korral.

NäideRedigeeri

Funktsioonil   on miinimun punktis   kuna

  ning  , kui x≠1 ja  , kui y≠2 ja seetõttu    , siis  .

Ekstreemumi piisavad tingimusedRedigeeri

  on funktsiooni   teist järku tuletised punktis  .

Olgu mingis punktis   funktsiooni   osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt   funktsiooni   statsionaarne punkt, s.t.

 

Siis punktis   :

  • on funktsioonil   lokaalne maksimum, kui   ja  ;
  • on funktsioonil   lokaalne miinimum, kui   ja  ;
  • ei ole funktsioonil   ei maksimumi ega miinimumi, kui  ;
  • küsimus jääb lahtiseks kui  .

NäideRedigeeri

Funktsiooni   lokaalsete ekstreemumite leidmine.

Esimest järku osatuletised on  

Võrrandisüsteemi   lahendid on  

Seega on funktsiooni   statsionaarseks punktiks  

Teist järku tuletised selles punktis on  

 

Kuna   ja   siis on punkt   funktsiooni   miinimumpunkt.

Funktsiooni   lokaalseks miinimumiks on  

Vaata kaRedigeeri